ВСЕУКРАЇНСЬКА СТУДЕНТСЬКА ОЛІМПІАДА З МАТЕМАТИКИ 2007 р.
Категорія Т
1.Обчислити визначник 
, де 
, якщо 
і 
, якщо 
; 
(6 балів)
2. Об'єм тетраедра 
дорівнює 
. Точки 
такі, що 
, 
, 
, 
. Знайти об'єм тетраедра 
. (5 балів)
3.На площині розташовані дві параболи так, що їхні осі взаємно перпендикулярні, а самі параболи перетинаються в чотирьох точках. Довести, що ці чотири точки лежать на одному колі. (5 балів)
4.Знайти всі функції 
, для яких при будь-яких 
виконується рівність
. (6 балів)
5. Розв'язати рівняння 
. (9 балів)
6.З'ясувати, чи існує дійсне число 
таке, що 
. (5 балів)
7.Нехай неперервна функція 
диференційована в проміжку 
, причому 
і 
. Довести, що існують такі числа 
, що 
і 
. (11 балів)
8.Знайти невизначений інтеграл 
. (9 балів)
9. Розв'язати диференціальне рівняння 
. (11 балів)
10. Дослідити на абсолютну та умовну збіжність числовий ряд
. (8 балів)
ВСЕУКРАЇНСЬКА СТУДЕНТСЬКА ОЛІМПІАДА З МАТЕМАТИКИ 2007 р.
Категорія С
1.Обчислити визначник 
, де 
, якщо і 
, якщо ; 
(6 балів)
2. Об'єм тетраедра дорівнює . Точки такі, що , 
, , 
. Знайти об'єм тетраедра . (5 балів)
3.На площині розташовані дві параболи так, що їхні осі взаємно перпендикулярні, а самі параболи перетинаються в чотирьох точках. Довести, що ці чотири точки лежать на одному колі. (6 балів)
4.Знайти всі неперервні функції , для яких при будь-яких дійсних 
виконується рівність 
. (5 балів)
5. Розв'язати рівняння 
(10 балів)
6.Довести, що 
виконується нерівність 
. (5 балів)
7.Довести, що 
багаточлен 
має не більш як один дійсний корінь. (9 балів)
8.Знайти невизначений інтеграл . (10 балів)
9. Розв'язати диференціальне рівняння 
. (11 балів)
10.Треба перевезти залізницею 20 великих і 250 малих контейнерів. Один вагон вміщує 30 малих контейнерів, вага кожного з яких дорівнює 2 тони. Великий контейнер займає місце 9 малих і важить 30 тон. Вантажність вагона 80 тон. Знайти мінімальне число вагонів, яке потрібне для перевезення всіх контейнерів. (8 балів)
BСЕУКРАЇНСЬКА СТУДЕНТСЬКА ОЛІМПІАДА З МАТЕМАТИКИ 2007 р.
Категорія М
1.Обчислити визначник , де 
, якщо і 
, якщо ; (6 балів)
2. Об'єм тетраедра дорівнює . Точки такі, що 
, 
, 
, 
, де 
. Знайти об'єм тетраедра . (5 балів)
3.На площині розташовані дві параболи так, що їхні осі взаємно перпендикулярні, а самі параболи перетинаються в чотирьох точках. Довести, що ці чотири точки лежать на одному колі. (4 бали)
4.Знайти всі функції , для яких при будь-яких виконується рівність 
(6 балів)
5.Для всіх значень дійсного параметра 
розв'язати рівняння
(13 балів)
6.Довести, що 
виконується нерівність 
. (5 балів)
7.Нехай неперервна функція диференційована в проміжку , причому і . Довести, що існують такі числа , що і . (10 балів)
8.Знайти невизначений інтеграл . (8 балів)
9. Розв'язати диференціальне рівняння . (10 балів)
10.Дослідити на абсолютну та умовну збіжність числовий ряд
. (8 балів)
ВСЕУКРАЇНСЬКА СТУДЕНТСЬКА ОЛІМПІАДА З МАТЕМАТИКИ 2008 р.
Категорія T
1.Яким умовам мають задовольняти дійсні числа 
, щоб система лінійних рівнянь
мала безліч розв’язків? (7 балів)
2.На всіх сторонах опуклого шестикутника 
зовні побудовано правильні трикутники 
,…,
Довести, що 
. (5 балів)
3.Дано параболи 
й 
. Довести, що хорда першої параболи, що дотикається до другої параболи, поділяється точкою дотику навпіл. (4 бали)
4.Послідовність 
, 
задано за допомогою рекурентної формули : 
, 
. Знайти 
. (7 балів)
5.Знайти всі функції, які при будь-яких дійсних 
задовольняють рівняння 
. (4 бали)
6.Функція 
задовольняє умови: 
. Довести, що існує 
і що ця границя не більше, ніж 
. (6 балів)
7.Функція 
визначена на відрізку 
і у кожній точці цього відрізка має першу та другу похідні. Відомо, що 
і 
. Довести, що найбільше значення, яке може набути максимум функції для всіх можливих функцій, що задовольняють ці умови, дорівнює 
. (8 балів)
8.Знайти невласний інтеграл 
, де 
, 
. (8 балів)
9. Нехай многочлен 
степеня 
з дійсними коефіцієнтами при всіх дійсних значеннях 
набуває лише додатних значень. Довести, що многочлен можна подати у вигляді суми квадратів двох многочленів. (6 балів)
10. Два тіла нагріли до 
, а потім помістили в середовище, температура якого підтримується постійною і дорівнює 
. Через 10 хвилин після початку охолодження тіл температура першого знизилася до 
, а температура другого – до 
. Через скільки хвилин від початку охолодження тіл температура одного з них буде на 
більше, ніж температура іншого, якщо швидкість зміни температури тіла пропорційна різниці температур тіла й навколишнього середовища?(5 балів)
