ВСЕУКРАЇНСЬКА СТУДЕНТСЬКА ОЛІМПІАДА З МАТЕМАТИКИ  2007 р.

Категорія Т

1.Обчислити визначник , де , якщо і , якщо ; (6 балів)

2. Об'єм тетраедра дорівнює . Точки такі, що , , , . Знайти об'єм тетраедра . (5 балів)

3.На площині розташовані дві параболи так, що їхні осі взаємно перпендикулярні, а самі параболи перетинаються в чотирьох точках. Довести, що ці чотири точки лежать на одному колі. (5 балів)

4.Знайти всі функції , для яких при будь-яких виконується рівність

. (6 балів)

5. Розв'язати рівняння . (9 балів)

6.З'ясувати, чи існує дійсне число таке, що . (5 балів)

7.Нехай неперервна функція диференційована в проміжку , причому і . Довести, що існують такі числа , що і . (11 балів)

8.Знайти невизначений інтеграл . (9 балів)

9. Розв'язати диференціальне рівняння . (11 балів)

10. Дослідити на абсолютну та умовну збіжність числовий ряд

. (8 балів)

ВСЕУКРАЇНСЬКА СТУДЕНТСЬКА ОЛІМПІАДА З МАТЕМАТИКИ 2007 р.

Категорія С

1.Обчислити визначник , де , якщо і , якщо ; (6 балів)

2. Об'єм тетраедра дорівнює . Точки такі, що , , , . Знайти об'єм тетраедра . (5 балів)

3.На площині розташовані дві параболи так, що їхні осі взаємно перпендикулярні, а самі параболи перетинаються в чотирьох точках. Довести, що ці чотири точки лежать на одному колі. (6 балів)

4.Знайти всі неперервні функції , для яких при будь-яких дійсних виконується рівність . (5 балів)

5. Розв'язати рівняння (10 балів)

6.Довести, що виконується нерівність . (5 балів)

7.Довести, що багаточлен має не більш як один дійсний корінь. (9 балів)

8.Знайти невизначений інтеграл . (10 балів)

9. Розв'язати диференціальне рівняння . (11 балів)

10.Треба перевезти залізницею 20 великих і 250 малих контейнерів. Один вагон вміщує 30 малих контейнерів, вага кожного з яких дорівнює 2 тони. Великий контейнер займає місце 9 малих і важить 30 тон. Вантажність вагона 80 тон. Знайти мінімальне число вагонів, яке потрібне для перевезення всіх контейнерів. (8 балів)

BСЕУКРАЇНСЬКА СТУДЕНТСЬКА ОЛІМПІАДА З МАТЕМАТИКИ 2007 р.

Категорія М

1.Обчислити визначник , де , якщо і , якщо ; (6 балів)

2. Об'єм тетраедра дорівнює . Точки такі, що , , , , де . Знайти об'єм тетраедра . (5 балів)

3.На площині розташовані дві параболи так, що їхні осі взаємно перпендикулярні, а самі параболи перетинаються в чотирьох точках. Довести, що ці чотири точки лежать на одному колі. (4 бали)

4.Знайти всі функції , для яких при будь-яких виконується рівність (6 балів)

5.Для всіх значень дійсного параметра розв'язати рівняння

(13 балів)

6.Довести, що виконується нерівність . (5 балів)

7.Нехай неперервна функція диференційована в проміжку , причому і . Довести, що існують такі числа , що і . (10 балів)

8.Знайти невизначений інтеграл . (8 балів)

9. Розв'язати диференціальне рівняння . (10 балів)

10.Дослідити на абсолютну та умовну збіжність числовий ряд

. (8 балів)

ВСЕУКРАЇНСЬКА СТУДЕНТСЬКА ОЛІМПІАДА З МАТЕМАТИКИ 2008 р.

Категорія T

1.Яким умовам мають задовольняти дійсні числа , щоб система лінійних рівнянь

мала безліч розв’язків? (7 балів)

2.На всіх сторонах опуклого шестикутника зовні побудовано правильні трикутники ,…,Довести, що . (5 балів)

3.Дано параболи й . Довести, що хорда першої параболи, що дотикається до другої параболи, поділяється точкою дотику навпіл. (4 бали)

4.Послідовність , задано за допомогою рекурентної формули : , . Знайти . (7 балів)

5.Знайти всі функції, які при будь-яких дійсних задовольняють рівняння . (4 бали)

6.Функція задовольняє умови: . Довести, що існує і що ця границя не більше, ніж . (6 балів)

7.Функція визначена на відрізку і у кожній точці цього відрізка має першу та другу похідні. Відомо, що і . Довести, що найбільше значення, яке може набути максимум функції для всіх можливих функцій, що задовольняють ці умови, дорівнює . (8 балів)

8.Знайти невласний інтеграл , де , . (8 балів)

9. Нехай многочлен степеня з дійсними коефіцієнтами при всіх дійсних значеннях набуває лише додатних значень. Довести, що многочлен можна подати у вигляді суми квадратів двох многочленів. (6 балів)

10. Два тіла нагріли до , а потім помістили в середовище, температура якого підтримується постійною і дорівнює . Через 10 хвилин після початку охолодження тіл температура першого знизилася до , а температура другого – до . Через скільки хвилин від початку охолодження тіл температура одного з них буде на більше, ніж температура іншого, якщо швидкість зміни температури тіла пропорційна різниці температур тіла й навколишнього середовища?(5 балів)

Добавить комментарий