ВСЕУКРАЇНСЬКА СТУДЕНТСЬКА ОЛІМПІАДА З МАТЕМАТИКИ 2007 р.
Категорія Т
1.Обчислити визначник , де
, якщо
і
, якщо
;
(6 балів)
2. Об'єм тетраедра дорівнює
. Точки
такі, що
,
,
,
. Знайти об'єм тетраедра
. (5 балів)
3.На площині розташовані дві параболи так, що їхні осі взаємно перпендикулярні, а самі параболи перетинаються в чотирьох точках. Довести, що ці чотири точки лежать на одному колі. (5 балів)
4.Знайти всі функції , для яких при будь-яких
виконується рівність
. (6 балів)
5. Розв'язати рівняння . (9 балів)
6.З'ясувати, чи існує дійсне число таке, що
. (5 балів)
7.Нехай неперервна функція диференційована в проміжку
, причому
і
. Довести, що існують такі числа
, що
і
. (11 балів)
8.Знайти невизначений інтеграл . (9 балів)
9. Розв'язати диференціальне рівняння . (11 балів)
10. Дослідити на абсолютну та умовну збіжність числовий ряд
. (8 балів)
ВСЕУКРАЇНСЬКА СТУДЕНТСЬКА ОЛІМПІАДА З МАТЕМАТИКИ 2007 р.
Категорія С
1.Обчислити визначник , де
, якщо
і
, якщо
;
(6 балів)
2. Об'єм тетраедра дорівнює
. Точки
такі, що
,
,
,
. Знайти об'єм тетраедра
. (5 балів)
3.На площині розташовані дві параболи так, що їхні осі взаємно перпендикулярні, а самі параболи перетинаються в чотирьох точках. Довести, що ці чотири точки лежать на одному колі. (6 балів)
4.Знайти всі неперервні функції , для яких при будь-яких дійсних
виконується рівність
. (5 балів)
5. Розв'язати рівняння (10 балів)
6.Довести, що виконується нерівність
. (5 балів)
7.Довести, що багаточлен
має не більш як один дійсний корінь. (9 балів)
8.Знайти невизначений інтеграл . (10 балів)
9. Розв'язати диференціальне рівняння . (11 балів)
10.Треба перевезти залізницею 20 великих і 250 малих контейнерів. Один вагон вміщує 30 малих контейнерів, вага кожного з яких дорівнює 2 тони. Великий контейнер займає місце 9 малих і важить 30 тон. Вантажність вагона 80 тон. Знайти мінімальне число вагонів, яке потрібне для перевезення всіх контейнерів. (8 балів)
BСЕУКРАЇНСЬКА СТУДЕНТСЬКА ОЛІМПІАДА З МАТЕМАТИКИ 2007 р.
Категорія М
1.Обчислити визначник , де
, якщо
і
, якщо
;
(6 балів)
2. Об'єм тетраедра дорівнює
. Точки
такі, що
,
,
,
, де
. Знайти об'єм тетраедра
. (5 балів)
3.На площині розташовані дві параболи так, що їхні осі взаємно перпендикулярні, а самі параболи перетинаються в чотирьох точках. Довести, що ці чотири точки лежать на одному колі. (4 бали)
4.Знайти всі функції , для яких при будь-яких
виконується рівність
(6 балів)
5.Для всіх значень дійсного параметра розв'язати рівняння
(13 балів)
6.Довести, що виконується нерівність
. (5 балів)
7.Нехай неперервна функція диференційована в проміжку
, причому
і
. Довести, що існують такі числа
, що
і
. (10 балів)
8.Знайти невизначений інтеграл . (8 балів)
9. Розв'язати диференціальне рівняння . (10 балів)
10.Дослідити на абсолютну та умовну збіжність числовий ряд
. (8 балів)
ВСЕУКРАЇНСЬКА СТУДЕНТСЬКА ОЛІМПІАДА З МАТЕМАТИКИ 2008 р.
Категорія T
1.Яким умовам мають задовольняти дійсні числа , щоб система лінійних рівнянь
мала безліч розв’язків? (7 балів)
2.На всіх сторонах опуклого шестикутника зовні побудовано правильні трикутники
,…,
Довести, що
. (5 балів)
3.Дано параболи й
. Довести, що хорда першої параболи, що дотикається до другої параболи, поділяється точкою дотику навпіл. (4 бали)
4.Послідовність ,
задано за допомогою рекурентної формули :
,
. Знайти
. (7 балів)
5.Знайти всі функції, які при будь-яких дійсних
задовольняють рівняння
. (4 бали)
6.Функція задовольняє умови:
. Довести, що існує
і що ця границя не більше, ніж
. (6 балів)
7.Функція визначена на відрізку
і у кожній точці цього відрізка має першу та другу похідні. Відомо, що
і
. Довести, що найбільше значення, яке може набути максимум функції
для всіх можливих функцій, що задовольняють ці умови, дорівнює
. (8 балів)
8.Знайти невласний інтеграл , де
,
. (8 балів)
9. Нехай многочлен степеня
з дійсними коефіцієнтами при всіх дійсних значеннях
набуває лише додатних значень. Довести, що многочлен
можна подати у вигляді суми квадратів двох многочленів. (6 балів)
10. Два тіла нагріли до , а потім помістили в середовище, температура якого підтримується постійною і дорівнює
. Через 10 хвилин після початку охолодження тіл температура першого знизилася до
, а температура другого – до
. Через скільки хвилин від початку охолодження тіл температура одного з них буде на
більше, ніж температура іншого, якщо швидкість зміни температури тіла пропорційна різниці температур тіла й навколишнього середовища?(5 балів)