Высшая математика индивидуальные задания для студентов
ЗАДАНИЕ № 1.
По данным результатов измерений (см. матрицу данных в соответствии с номером варианта):
· построить математическую модель (регрессионное уравнение)
осуществляя оценку регрессионных коэффициентов 
на основе метода 1МНК[1].
· Для полученного регрессионного уравнения
получите оценку дисперсии возмущений 
.
· Определите значения стандартизированных регрессионных коэффициентов 
и дайте их экономическую интерпретацию.
· Для определения степени влияния регрессора на регрессанд без учета единиц измерения, для каждого из регрессоров определите коэффициент эластичности 
.
· На основе полученных в предыдущих пунктах данных, рассчитайте ковариационную матрицу 
. Диагональные элементы этой матрицы - есть оцененные дисперсии 
соответственно для 
. Внедиагональные элементы 
- оцененная ковариация между 
и 
соответственно. Используя понятие коэффициента корреляции определите характер и уровень связи между оцененными регрессионными коэффициентами имеющими наибольшую и наименьшую оценки дисперсии соответственно.
· Вычислите коэффициент детерминации и оцените степень адекватности полученной модели.
· Осуществите построение регрессионной модели, оставляя в качестве исходных данных данные по регрессорам 
и 
соответственно для модели 
и данные по регрессорам и 
соответственно для модели 
. Для каждой из полученных моделей: используя приемы метода 1МНК осуществите оценку регрессионных коэффициентов, получите оценку дисперсии возмущений , а также вычислите их коэффициенты детерминации.
· Для полученных регрессий рассчитайте величины 
и 
.
Таблица исходных данных (матрица данных).
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
1 |
2 |
6 |
|
2 |
|
1 |
|
7 |
|
3 |
|
1 |
|
|
|
4 |
|
1 |
|
|
|
5 |
4 |
1 |
|
|
Здесь:
№ варианта[2]
ЗАДАНИЕ № 2.
По данным результатов, полученных в задании № 1:
· Проверить основную (нулевую) гипотезу для третьего регрессора, состоящую в том, что коэффициент 
(принять уровень значимости 
);
· Условие тоже, однако по определенным соображениям необходимо проверить основное предположение, что 
;
· Проверить с помощью t-теста при 
утверждение, что 
(должно быть статистически доказано, что 
). Другая информация о соотношениях этих величин отсутствует;
· Проверить с помощью t-теста при утверждение, что 
(должно быть статистически доказано, что 
, также в предположении, что другая информация об их соотношениях отсутствует;
· Проверить, что 
при .
Указание: расчетное значение 
статистики можно рассчитать по формуле
значение линейной комбинации согласно нулевой гипотезе,
ЗАДАНИЕ № 3.
Обобщенное оценивание параметров регрессии по методу Эйткена при авторегрессионном процессе первого порядка.
· оцените методом 1МНК коэффициенты регрессионного уравнения 
, возмущения которого являются автокоррелируемыми: 
и рассчитайте вектор погрешностей: 
· рассчитайте на основе найденного вектора погрешностей d-статистику: 
и проведите d-тест. Если нельзя отклонить гипотезу о том, что 
, тогда необходимо выполнить оценку по методу Эйткена, описанную ниже (см. пункты 3, 4, 5, задания № 3).
· по элементам вектора погрешностей рассчитайте оценку параметра 
по формуле: 
.
· матрица данных 
модели с автокоррелируемыми возмущениями преобразуется с помощью матрицы преобразования 
по формуле: 
где при авторегрессионном процессе первого порядка имеет вид:
Таким образом, для расчетов элементов первой строки преобразованной матрицы данных, каждый элемент первой строки матрицы умножается на 
, т. е.
.
Вторая строка преобразуется по формулам:
· Примените метод 1МНК для оценки преобразованной (вспомогательной модели), т. е. рассчитайте следующие величины:
здесь 
, при этом 
. Оценивание параметров модели по методу Эйткена реализуется по алгоритму метода наименьших квадратов 1МНК, дополненному лишь преобразованием матрицы данных.
[1] Метод наименьших квадратов.
[2] Соответствует последней цифре номера зачетной книжки студента.
