Ответы на задачи по «Статистической теории РТС»

Задача 1

На рисунке показан процесс предачи бинарного сигнала в цифровом канале с помехами.

Найдём полную вероятность того, что на приёмном конце получена единица или нуль :

, (1.1)

. (1.2)

По формуле Байеса для условной вероятности при приеме «единицы» имеем:

, (1.3)

. (1.4)

Сумма условных вероятностей событий и составляет полную группу событий, поэтому для них выполняется условие . Аналогично для условных вероятностей справедливо .

Подставляя данные условия задачи в выражения (1.1), (1.3) и (1.2), (1.4) получим

Условные вероятности при приеме «нуля» и «единицы» составляют полную группу событий, откуда имеем:

,

.

Подставляя численные значения можно получить (смотри вариант 1 в таблице).

Задача 2

Определение вероятности того, что измеренное значение дальности отклонится от истинного значения не более чем на D(м), сводится к вычислению вероятности попадания случайной величины X (ошибка измерения) в интервал значений – D до + D метров. Поскольку X подчиняется гауссовскому закону распределения

, (2.1)

то вероятность попадания случайного значения дальности X в интервал значений (α, β), где α< β, равна

, (2.2)

где – табулированный интеграл вероятности.

Для него, также выполняется . Используя (1), (2) и таблицы интеграла вероятности можно получить вероятность .

Вероятность того, что при трёх независимых измерениях ошибка X хотя бы одного измерения не превзойдет по абсолютной величине D можно определить по формуле

. (2.3)

Результаты вычислений внесены в таблицу.

Задача 3

Известна плотность вероятности распределения входного напряжения по гауссовскому закону .

Для решения задачи находим функцию обратную ВАХ I = a U n , при U > 0.

Для n=1 имеем и производная для U >0.

Для n=2 имеем и производная для U >0.

Найдем значение нормирующего множителя для положительных значений напряжения. Ранее было найдено выражение для вероятности попадания значений в интервал (α, β). Для α=0, а β= ∞, из (1) и (2) найдем множитель для положительных значений напряжения: .

Искомая плотность вероятности распределения имеет вид:

.

Окончательно для n=1 получим

. (3,1)

Для n=2 получим

. (3.2)

Используя выражения (1) и (2) получим ответы для вариантов:

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. ,

6. ,

7. ,

8. ,

9. ,

10. .

Задача 4

Найдем передаточную функцию цепи

.

Передаточная функция цепи равна , где , а - коэффициент затухания цепи.

Энергетический спектр шума на выходе цепи .

АКФ шума на выходе цепи найдем как обратное Фурье-преобразование от выходного энергетического спектра:

.

Дисперсия шума на выходе фильтра равна .

Ответы для вариантов:

1. , , .

Задача 5

Вероятность ложной тревоги F и правильного обнаружения D для полностью известного сигнала имеют вид:

(5.1)

, (5.2)

где – табулированный интеграл вероятности;

– относительный пороговый уровень;

– отношение сигнал/шум;

N0 – спектральная плотность мощности шума;

- энергия импульса.

Используя таблицу интеграла вероятности находим аргументы интеграла вероятности для заданных значений D.

Найдем отношение сигнал/шум на входе обнаружителя детерминированного сигнала из данных условия задачи. Результаты расчетов представлены в таблице 5.1.

Таблица 5.1

Представим выражение (5.1) в следующем виде

. (5.3)

Найдем значение относительного порогового уровня .

Задача 6

Для обнаружителя детерминированного сигнала для заданного D=0,9 найдем по формуле (5.3) и таблицам интеграла вероятности требуемое значение отношения сигнал/шум откуда .

Найдем значения относительного порога для заданных вероятностей ложной тревоги с использованием выражения (5.1) и поместим в таблицу.

Таблица

Найдем необходимое значение отношения сигнал/шум по полученным данным и поместим эти значения в таблицу по вариантам.

Определим значение амплитуды прямоугольного импульса U для заданного τи и отношения сигнал/шум q:

,

,

Откуда можно получить

.

Результаты расчетов по данным задания и вариантам занесем в таблицу.

Задача 7

Для импульсной характеристики СФ имеем , где и постоянные величины, а .

Структурная схема СФ и АКФ шума на его выходе показаны на рисунке 7.1.

Рисунок 7.1

Сигнал на выходе СФ без шума совпадает по форме с АКФ входного сигнала, сдвинутой на время длительности сигнала τи вправо. Для выходного сигнала имеем:

,

где амплитуда максимума выходного сигнала равна .

АКФ шума на выходе СФ может быть найдена как свертка АКФ входного шума и АКФ импульсной характеристики СФ .

Для АКФ шума на выходе СФ имеем:

,

где - дисперсия (мощность) шума на выходе СФ;

- энергия сигнала;

k0 – коэффициент передачи интегратора.

Отношение сигнал/шум на выходе СФ по мощности равно

(7.1)

По формуле (7.1) и таблицы исходных данных по вариантам рассчитаем отношение сигнал шум и поместим результаты а таблицу.

Задача 8

Вероятность ошибки различения детерминированного сигнала, обнаруживаемого на фоне гауссовского шума в приемнике «идеального наблюдателя» равна

. (8.1)

Найдем энергию импульса с гауссовской огибающей

. (8.2)

Определим спектральную плотность мощности шума

. (8.3)

Подставим (8.2) и (8.3) в выражение (8.1) и получим

. (8.4)

Используя выражение (8.4) и данные задания по вариантам рассчитаем искомое значение и поместим его в таблицу.

Задача 9

Функция рассогласования прямоугольной пачки из M прямоугольных импульсов имеет вид:

, (9.1)

где - функция рассогласования одиночного прямоугольного видеоимпульса для .

Для получения разрешающей способности по времени (дальности) необходимо найти и построить сечение функции рассогласования по времени. Из выражения (9.1) для F=0 имеем:

, (9.2)

для и целого m в пределах . На рисунке показана функция (9.2) для M=5.

Из рисунка видно, что разрешающая способность по времени для такого сигнала равна τи, а временной интервал однозначного определения задержки равен T. Связывая время задержки и дальность через скорость распространения ЭМВ (м/с) найдем разрешающую способность по дальности и однозначно определяемую дальность. Разрешающая способность по дальности имеет вид , а максимальная дальность однозначного определения равна .

Для получения разрешающей способности по частоте (скорости) необходимо найти и построить сечение функции рассогласования по частоте.

Из выражения (9.1) для τ=0 имеем:

. (9.3)

На рисунке представлен график зависимости (9.3).

Из графика зависимости (9.3) можно найти, что разрешающую способность по частоте равную и максимальный однозначно определяемый сдвиг по частоте равен . Связывая сдвиг по частоте с доплеровским смещением сигнала при наличии радиальной составляющей скорости цели, можно найти разрешающую способность по скорости и максимальную величину однозначно определяемой скорости .

Задача 10

Для простого импульсного сигнала с гауссовской комплексной огибающей вида функция рассогласования имеет вид:

. (10.1)

Потенциальная точность определения запаздывания равна:

, (10.2)

где q – отношение сигнал/шум;

- эффективная ширина спектра;

- спектр комплексной огибающей.

Для импульса гауссовской формы выражение (10.2) имеет вид:

. (10.3)

Аналогично потенциальная точность определения частотного сдвига равна:

, (10.4)

где - эффективная длительность гауссовского импульса . Для гауссовского импульса из (10.4) имеем:

. (10.5)

Разрешающая способность по дальности имеет вид , откуда . (10.6)

Аналогично связывая сдвиг по частоте с доплеровским смещением сигнала при наличии радиальной составляющей скорости цели, можно найти разрешающую способность по скорости , откуда

. (10.7)

По характеристикам обнаружения для заданных вероятностей правильного обнаружения D и ложной тревоги F найдем пороговые отношения сигнал/шум в соответствии с данными задания и поместим в таблицу.

Используя выражения (10.6) и (10.7), данные таблицы и задания можно получить искомые точности определения дальности и скорости.

Добавить комментарий