Ответы на задачи по «Статистической теории РТС»
Задача 1
На рисунке показан процесс предачи бинарного сигнала в цифровом канале с помехами.
Найдём полную вероятность того, что на приёмном конце получена единица 
или нуль 
:
, (1.1)
. (1.2)
По формуле Байеса для условной вероятности при приеме «единицы» имеем:
, (1.3)
. (1.4)
Сумма условных вероятностей событий 
и 
составляет полную группу событий, поэтому для них выполняется условие 
. Аналогично для условных вероятностей справедливо 
.
Подставляя данные условия задачи в выражения (1.1), (1.3) и (1.2), (1.4) получим
Условные вероятности при приеме «нуля» и «единицы» составляют полную группу событий, откуда имеем:
,
.
Подставляя численные значения можно получить (смотри вариант 1 в таблице).
|
№ варианта |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
|
|
0,077 |
|||||||||
|
|
0,25 |
Задача 2
Определение вероятности того, что измеренное значение дальности отклонится от истинного значения не более чем на D(м), сводится к вычислению вероятности попадания случайной величины X (ошибка измерения) в интервал значений – D до + D метров. Поскольку X подчиняется гауссовскому закону распределения
, (2.1)
то вероятность попадания случайного значения дальности X в интервал значений (α, β), где α< β, равна
, (2.2)
где 
– табулированный интеграл вероятности.
Для него, также выполняется 
. Используя (1), (2) и таблицы интеграла вероятности можно получить вероятность 
.
Вероятность того, что при трёх независимых измерениях ошибка X хотя бы одного измерения не превзойдет по абсолютной величине D можно определить по формуле
.
(2.3)
Результаты вычислений внесены в таблицу.
|
№ варианта |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
|
|
0,82 |
0,68 |
||||||||
|
|
0,994 |
0,968 |
Задача 3
Известна плотность вероятности распределения входного напряжения по гауссовскому закону 
.
Для решения задачи находим функцию обратную ВАХ I = a U n , при U > 0.
Для n=1 имеем 
и производная 
для U >0.
Для n=2 имеем 
и производная 
для U >0.
Найдем значение нормирующего множителя для положительных значений напряжения. Ранее было найдено выражение для вероятности попадания значений в интервал (α, β). Для α=0, а β= ∞, из (1) и (2) найдем множитель для положительных значений напряжения: 
.
Искомая плотность вероятности распределения имеет вид:
.
Окончательно для n=1 получим
. (3,1)
Для n=2 получим
. (3.2)
Используя выражения (1) и (2) получим ответы для вариантов:
1. 
,
2. 
,
3. 
,
4. 
,
5. 
,
6. 
,
7. 
,
8. 
,
9. 
,
10. 
.
Задача 4
Найдем передаточную функцию цепи
.
Передаточная функция цепи равна 
, где 
, а 
- коэффициент затухания цепи.
Энергетический спектр шума на выходе цепи 
.
АКФ шума на выходе цепи найдем как обратное Фурье-преобразование от выходного энергетического спектра:
.
Дисперсия шума на выходе фильтра равна 
.
Ответы для вариантов:
1. 
, 
, 
.
Задача 5
Вероятность ложной тревоги F и правильного обнаружения D для полностью известного сигнала имеют вид:
(5.1)
, (5.2)
где 
– табулированный интеграл вероятности;
– относительный пороговый уровень;
– отношение сигнал/шум;
N0 – спектральная плотность мощности шума;
- энергия импульса.
Используя таблицу интеграла вероятности находим аргументы интеграла вероятности для заданных значений D.
|
№ варианта |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
|
argΦ(∙)=A |
1,65 |
2,06 |
2,35 |
1,65 |
2,35 |
1,65 |
2,35 |
1,65 |
1,65 |
1,65 |
|
D |
0,95 |
0,98 |
0,99 |
0,95 |
0,99 |
0,95 |
0,99 |
0,95 |
0,95 |
0,95 |
Найдем отношение сигнал/шум 
на входе обнаружителя детерминированного сигнала из данных условия задачи. Результаты расчетов представлены в таблице 5.1.
Таблица 5.1
|
№ варианта |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
|
q |
5,3 |
7,4 |
13 |
7,5 |
8,3 |
6,5 |
12 |
7,4 |
9,25 |
10,6 |
Представим выражение (5.1) в следующем виде
. (5.3)
Найдем значение относительного порогового уровня 
.
|
№ варианта |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
|
Uп |
3,65 |
5,34 |
10,65 |
5,85 |
5,95 |
4,85 |
9,65 |
5,75 |
8 |
8,95 |
Задача 6
Для обнаружителя детерминированного сигнала для заданного D=0,9 найдем по формуле (5.3) и таблицам интеграла вероятности требуемое значение отношения сигнал/шум 
откуда 
.
Найдем значения относительного порога для заданных вероятностей ложной тревоги с использованием выражения (5.1) и поместим в таблицу.
Таблица
|
№ варианта |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
|
Uп |
1,29 |
2,33 |
3,1 |
3,72 |
4,27 |
4,27 |
3,72 |
3,1 |
2,33 |
1,29 |
Найдем необходимое значение отношения сигнал/шум по полученным данным и поместим эти значения в таблицу по вариантам.
|
№ варианта |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
|
q |
2,58 |
3,62 |
4,39 |
5,1 |
5,56 |
5,56 |
5,1 |
4,39 |
3,62 |
2,58 |
Определим значение амплитуды прямоугольного импульса U для заданного τи и отношения сигнал/шум q:
,
,
Откуда можно получить
.
Результаты расчетов по данным задания и вариантам занесем в таблицу.
|
№ варианта |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
|
U(мкВ) |
5,77 |
0,6 |
Задача 7
Для импульсной характеристики СФ имеем 
, где 
и 
постоянные величины, а 
.
Структурная схема СФ и АКФ шума на его выходе показаны на рисунке 7.1.
Рисунок 7.1
Сигнал на выходе СФ без шума совпадает по форме с АКФ входного сигнала, сдвинутой на время длительности сигнала τи вправо. Для выходного сигнала имеем:
,
где амплитуда максимума выходного сигнала равна 
.
АКФ шума на выходе СФ может быть найдена как свертка АКФ входного шума 
и АКФ импульсной характеристики СФ 
.
Для АКФ шума на выходе СФ имеем:
,
где 
- дисперсия (мощность) шума на выходе СФ;
- энергия сигнала;
k0 – коэффициент передачи интегратора.
Отношение сигнал/шум на выходе СФ по мощности равно
(7.1)
По формуле (7.1) и таблицы исходных данных по вариантам рассчитаем отношение сигнал шум и поместим результаты а таблицу.
|
№ варианта |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
|
q |
10 |
5,6 |
5,6 |
8 |
6 |
7,6 |
5,6 |
11,2 |
6 |
12 |
Задача 8
Вероятность ошибки различения детерминированного сигнала, обнаруживаемого на фоне гауссовского шума в приемнике «идеального наблюдателя» равна
. (8.1)
Найдем энергию импульса с гауссовской огибающей
. (8.2)
Определим спектральную плотность мощности шума
. (8.3)
Подставим (8.2) и (8.3) в выражение (8.1) и получим
. (8.4)
Используя выражение (8.4) и данные задания по вариантам рассчитаем искомое значение и поместим его в таблицу.
|
№ варианта |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
|
F |
0,0018 |
0,24 |
Задача 9
Функция рассогласования прямоугольной пачки из M прямоугольных импульсов имеет вид:
, (9.1)
где 
- функция рассогласования одиночного прямоугольного видеоимпульса для 
.
Для получения разрешающей способности по времени (дальности) необходимо найти и построить сечение функции рассогласования по времени. Из выражения (9.1) для F=0 имеем:
, (9.2)
для 
и целого m в пределах 
. На рисунке показана функция (9.2) для M=5.
Из рисунка видно, что разрешающая способность по времени для такого сигнала равна τи, а временной интервал однозначного определения задержки равен T. Связывая время задержки и дальность через скорость распространения ЭМВ 
(м/с) найдем разрешающую способность по дальности и однозначно определяемую дальность. Разрешающая способность по дальности имеет вид 
, а максимальная дальность однозначного определения равна 
.
Для получения разрешающей способности по частоте (скорости) необходимо найти и построить сечение функции рассогласования по частоте.
Из выражения (9.1) для τ=0 имеем:
. (9.3)
На рисунке представлен график зависимости (9.3).
Из графика зависимости (9.3) можно найти, что разрешающую способность по частоте равную 
и максимальный однозначно определяемый сдвиг по частоте равен 
. Связывая сдвиг по частоте с доплеровским смещением сигнала при наличии радиальной составляющей скорости цели, можно найти разрешающую способность по скорости 
и максимальную величину однозначно определяемой скорости 
.
Задача 10
|
№ варианта |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
|
∆r(м) |
150 |
300 |
450 |
150 |
450 |
150 |
75 |
300 |
150 |
450 |
|
Dmax(км) |
450 |
300 |
600 |
300 |
450 |
300 |
450 |
150 |
600 |
150 |
|
∆Vр(м/с) |
1,7 |
1,25 |
0,4 |
2,5 |
0,83 |
0,83 |
0,83 |
1,7 |
1,25 |
2,5 |
|
Vmax(м/с) |
16,6 |
25 |
12 |
25 |
16,6 |
24,9 |
16,8 |
51 |
12,5 |
50 |
Для простого импульсного сигнала с гауссовской комплексной огибающей вида 
функция рассогласования имеет вид:
. (10.1)
Потенциальная точность определения запаздывания равна:
, (10.2)
где q – отношение сигнал/шум;
- эффективная ширина спектра;
- спектр комплексной огибающей.
Для импульса гауссовской формы выражение (10.2) имеет вид:
. (10.3)
Аналогично потенциальная точность определения частотного сдвига равна:
, (10.4)
где 
- эффективная длительность гауссовского импульса 
. Для гауссовского импульса из (10.4) имеем:
. (10.5)
Разрешающая способность по дальности имеет вид 
, откуда 
. (10.6)
Аналогично связывая сдвиг по частоте с доплеровским смещением сигнала при наличии радиальной составляющей скорости цели, можно найти разрешающую способность по скорости 
, откуда
. (10.7)
По характеристикам обнаружения для заданных вероятностей правильного обнаружения D и ложной тревоги F найдем пороговые отношения сигнал/шум в соответствии с данными задания и поместим в таблицу.
|
№ варианта |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
|
D |
0,9 |
0,9 |
0,9 |
0,9 |
0,9 |
0,9 |
0,9 |
0,9 |
0,9 |
0,9 |
|
F |
10-4 | 10-5 | 10-3 | 10-2 | 10-4 | 10-4 | 10-4 | 10-4 | 10-2 | 10-4 |
|
q |
5 |
5,55 |
4,37 |
3,6 |
5 |
5 |
5 |
5 |
3,6 |
5 |
Используя выражения (10.6) и (10.7), данные таблицы и задания можно получить искомые точности определения дальности и скорости.
|
№ варианта |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
|
σr(м) |
17,6 |
15,2 |
1,93 |
2,35 |
1,76 |
|||||
|
σV(км/с) |
34 |
3,05 |
38,5 |
27,7 |
78 |
