Технические темы
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 4.00 (1 Голос)

Пример решения задачи на изменение кинетической энергии механической системы.

Механическая система состоит из цилиндрического катка 1, ступенчатого шкива 2 и груза 3.

Под действием силы (сила зависит от перемещения S-точки приложения силы ) система приходит в действие из состояния покоя.

Тела 1 и 3 соединены через шкив двумя нитями, намотанными на шкив. Шкив ступенчатый. Масса шкива равномерно распределена на его внешнем ободе (). Шкив создает постоянный момент сопротивления вращения, коэффициент трении груза о поверхность, по которой он движется

Дано:

 ;

Определить скорость движения груза 3, т. е

                               (1)

   Теорема в данном случае говорит о том, что сумма кинетических энергий всех тел перемещающейся системы равна сумме работ всех внешних, действующих на систему, сил на соответствующих перемещениях тел системы.

    Тот параметр движения, который необходимо определить (например ; ) нужно включить в левую часть формулы, выразив его через все остальные. В правой части необходимо выразить все перемещения через .

 

 

 

Решение

Изобразим систему и приложим к ней все действующие внешние силы: активные силы , постоянно действующий момент сопротивления (торможения ), реакции  и силы трения . Нити считаем невесомыми, нерастяжимыми, идеально гибкими и параллельными поверхностям движения. Силы тяжести и сразу разложим на нормальные и касательные составляющие (именно :  и  производят работу на своих перемещениях). В начальный момент система находится в покое, следовательно, её кинетическая энергия в этот момент равна нулю: 

Кинетическая энергия движущейся системы равна сумме кинетических энергий всех тел этой системы:

(2)

Тело 1 движется плоско (плоскопараллельно), то есть его кинетическая энергия: ,

где – скорость центра момента цилиндрического катка;

– момент инерции катка относительно оси, проходящей через центр масс – т. С;

– угловая скорость вращения катка относительно оси проходящей через т.

Шкив 2 вращается постоянно относительно неподвижности в центре точки О, то есть кинетическая энергия : ,

где – момент инерции шкива относительно оси, проходящую через точку О,

– угловая скорость шкива относительно оси, проходящая через точку О.

Груз 3 движется поступательно, то есть его кинетическая энергия: ,

где - искомая скорость груза 3.

Все скорости выражаем через искомую , то есть , следовательно: . Так как , а точка - мгновенный центр для тела 1, то , следовательно

Моменты инерции: сплошного цилиндрического катка: шкива с периферийной массой: . Все подставляем в выражение (2)

Далее определим сумму работ всех действующих внешних сил на соответствующих перемещениях тел системы.

Реакции , а также ; на направлениях перемещений имеют проекции равные нулю, поэтому работ не совершают.

- приложенная точке не производит работы, так как точка мгновенный центр скоростей и тело 1 катится по наклонной плоскости без скольжения, то есть без сопротивления.

Положительные работы производит:

1) Сила на перемещение , то есть инициирующая движение всей системы сила:

, и

2) Сила (скатывающая составляющая ) на перемещение :

.

Отрицательные работы производят:

3) Тормозной момент шкива 2 дает отрицательную работу:

(по известной формуле : длинна дуги окружности S равна произведению , где - угол в радианах, поэтому , то есть );

4) Сила (скатывающая составляющая ) на перемещение дает отрицательную работу, так как направлена против движения системы :

(так как , а шкив – цельная деталь, то радиус повернется на тот же угол ; следовательно дуга на радиусе равна );

5) Сила создает отрицательную работу (работу силы сопротивления) на том же перемещении :

Сумма работ всех сил :

Окончательно из выражения : , то есть определим искомый параметр :

Ответ: скорость движения груза 3: .

Задача на изменение кинетической энергии - 4.0 out of 5 based on 1 vote

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

Google