Пример решения задачи на изменение кинетической энергии механической системы.
Механическая система состоит из цилиндрического катка 1, ступенчатого шкива 2 и груза 3.
Под действием силы 
(сила зависит от перемещения S-точки приложения силы 
) система приходит в действие из состояния покоя.
Тела 1 и 3 соединены через шкив двумя нитями, намотанными на шкив. Шкив ступенчатый. Масса шкива равномерно распределена на его внешнем ободе (
). Шкив создает постоянный момент 
сопротивления вращения, коэффициент трении груза о поверхность, по которой он движется
Дано:
; 
Определить скорость движения груза 3, т. е 
(1)
Теорема в данном случае говорит о том, что сумма кинетических энергий всех тел перемещающейся системы равна сумме работ всех внешних, действующих на систему, сил на соответствующих перемещениях тел системы.
Тот параметр движения, который необходимо определить (например 
; 
) нужно включить в левую часть формулы, выразив его через все остальные. В правой части необходимо выразить все перемещения через 
.
Решение
Изобразим систему и приложим к ней все действующие внешние силы: активные силы 
, постоянно действующий момент сопротивления (торможения 
), реакции 
и силы трения 
. Нити считаем невесомыми, нерастяжимыми, идеально гибкими и параллельными поверхностям движения. Силы тяжести 
и 
сразу разложим на нормальные и касательные составляющие (именно : 
и 
производят работу на своих перемещениях). В начальный момент система находится в покое, следовательно, её кинетическая энергия в этот момент равна нулю: 
Кинетическая энергия движущейся системы равна сумме кинетических энергий всех тел этой системы:
(2)
Тело 1 движется плоско (плоскопараллельно), то есть его кинетическая энергия: 
,
где 
– скорость центра момента цилиндрического катка;
– момент инерции катка относительно оси, проходящей через центр масс – т. С;
– угловая скорость вращения катка относительно оси проходящей через т. 
Шкив 2 вращается постоянно относительно неподвижности в центре точки О, то есть кинетическая энергия : 
,
где 
– момент инерции шкива относительно оси, проходящую через точку О,
– угловая скорость шкива относительно оси, проходящая через точку О.
Груз 3 движется поступательно, то есть его кинетическая энергия: 
,
где - искомая скорость груза 3.
Все скорости выражаем через искомую 
, то есть 
, следовательно: 
. Так как 
, а точка 
- мгновенный центр для тела 1, то 
, следовательно 
Моменты инерции: сплошного цилиндрического катка: 
шкива с периферийной массой: 
. Все подставляем в выражение (2)
Далее определим сумму работ всех действующих внешних сил на соответствующих перемещениях тел системы.
Реакции 
, а также 
; 
на направлениях перемещений имеют проекции равные нулю, поэтому работ не совершают.
- приложенная точке 
не производит работы, так как точка 
мгновенный центр скоростей и тело 1 катится по наклонной плоскости без скольжения, то есть без сопротивления.
Положительные работы производит:
1) Сила 
на перемещение 
, то есть инициирующая движение всей системы сила:
, и
2) Сила 
(скатывающая составляющая 
) на перемещение 
:
.
Отрицательные работы производят:
3) Тормозной момент шкива 2 дает отрицательную работу:
(по известной формуле : длинна дуги окружности S равна произведению 
, где 
- угол в радианах, поэтому 
, то есть 
);
4) Сила 
(скатывающая составляющая 
) на перемещение 
дает отрицательную работу, так как направлена против движения системы :
(так как 
, а шкив – цельная деталь, то радиус 
повернется на тот же угол 
; следовательно дуга на радиусе 
равна 
);
5) Сила 
создает отрицательную работу (работу силы сопротивления) на том же перемещении 
:
Сумма работ всех сил : 
Окончательно из выражения : 
, то есть 
определим искомый параметр 
: 
Ответ: скорость движения груза 3: 
.
