Пример решения задачи на изменение кинетической энергии механической системы.
Механическая система состоит из цилиндрического катка 1, ступенчатого шкива 2 и груза 3.
Под действием силы (сила зависит от перемещения S-точки приложения силы
) система приходит в действие из состояния покоя.
Тела 1 и 3 соединены через шкив двумя нитями, намотанными на шкив. Шкив ступенчатый. Масса шкива равномерно распределена на его внешнем ободе (). Шкив создает постоянный момент
сопротивления вращения, коэффициент трении груза о поверхность, по которой он движется
Дано:
;
Определить скорость движения груза 3, т. е
(1)
Теорема в данном случае говорит о том, что сумма кинетических энергий всех тел перемещающейся системы равна сумме работ всех внешних, действующих на систему, сил на соответствующих перемещениях тел системы.
Тот параметр движения, который необходимо определить (например ;
) нужно включить в левую часть формулы, выразив его через все остальные. В правой части необходимо выразить все перемещения через
.
Решение
Изобразим систему и приложим к ней все действующие внешние силы: активные силы , постоянно действующий момент сопротивления (торможения
), реакции
и силы трения
. Нити считаем невесомыми, нерастяжимыми, идеально гибкими и параллельными поверхностям движения. Силы тяжести
и
сразу разложим на нормальные и касательные составляющие (именно :
и
производят работу на своих перемещениях). В начальный момент система находится в покое, следовательно, её кинетическая энергия в этот момент равна нулю:
Кинетическая энергия движущейся системы равна сумме кинетических энергий всех тел этой системы:
(2)
Тело 1 движется плоско (плоскопараллельно), то есть его кинетическая энергия: ,
где – скорость центра момента цилиндрического катка;
– момент инерции катка относительно оси, проходящей через центр масс – т. С;
– угловая скорость вращения катка относительно оси проходящей через т.
Шкив 2 вращается постоянно относительно неподвижности в центре точки О, то есть кинетическая энергия : ,
где – момент инерции шкива относительно оси, проходящую через точку О,
– угловая скорость шкива относительно оси, проходящая через точку О.
Груз 3 движется поступательно, то есть его кинетическая энергия: ,
где - искомая скорость груза 3.
Все скорости выражаем через искомую , то есть
, следовательно:
. Так как
, а точка
- мгновенный центр для тела 1, то
, следовательно
Моменты инерции: сплошного цилиндрического катка: шкива с периферийной массой:
. Все подставляем в выражение (2)
Далее определим сумму работ всех действующих внешних сил на соответствующих перемещениях тел системы.
Реакции , а также
;
на направлениях перемещений имеют проекции равные нулю, поэтому работ не совершают.
- приложенная точке
не производит работы, так как точка
мгновенный центр скоростей и тело 1 катится по наклонной плоскости без скольжения, то есть без сопротивления.
Положительные работы производит:
1) Сила на перемещение
, то есть инициирующая движение всей системы сила:
, и
2) Сила (скатывающая составляющая
) на перемещение
:
.
Отрицательные работы производят:
3) Тормозной момент шкива 2 дает отрицательную работу:
(по известной формуле : длинна дуги окружности S равна произведению
, где
- угол в радианах, поэтому
, то есть
);
4) Сила (скатывающая составляющая
) на перемещение
дает отрицательную работу, так как направлена против движения системы :
(так как
, а шкив – цельная деталь, то радиус
повернется на тот же угол
; следовательно дуга на радиусе
равна
);
5) Сила создает отрицательную работу (работу силы сопротивления) на том же перемещении
:
Сумма работ всех сил :
Окончательно из выражения : , то есть
определим искомый параметр
:
Ответ: скорость движения груза 3: .