Задачи оптимизации
Задача оптимизации для функции одной переменной.
Задача оптимизации для функции одной переменной – простейшая задача оптимизации, не требующая, как правило, использования надстроек Excel. В практике инженерной деятельности такие задачи довольно частые, поэтому остановимся на них.
В качестве примера рассмотрим задачу выбора агрегата для выполнения полевых работ.
Пример.
Обоснуйте выбор оптимального состава агрегата для вспашки. На машинном дворе есть плуг – ПЛН-5-35 и тракторы Т-150К, Т-150, ДТ-75. Определите оптимальный вариант агрегата по следующим критериям: а) максимум продуктивности; б) минимум затрат горючего.
Выходные данные для расчета машинно-тракторного агрегата
|
Показатель |
Марка трактора |
||
|
Т-150К |
Т-150 |
ДТ-75М |
|
|
Уклон местности, град |
1 |
1 |
1 |
|
Марка сельскохозяйственной машины |
ПЛН-5-35 |
ПЛН-5-35 |
ПЛН-5-35 |
|
Глубина вспашки, м |
0,27 |
0,27 |
0,27 |
|
Количество машин в агрегате |
1 |
1 |
1 |
|
Удельное сопротивление рабочей машины, кН/м2 |
80 |
80 |
80 |
|
Масса трактора, кг |
7535 |
6975 |
6610 |
|
Масса сельскохозяйственной машины, кг |
850 |
850 |
850 |
|
Технологически допустимая рабочая скорость, км/час |
До 9 |
До 9 |
до 9 |
|
Часовой расход топлива двигателем трактора. кг/час |
30,5 |
27,75 |
16,6 |
|
Коэффициент использования рабочего времени |
0,8 |
0,8 |
0,8 |
Решение задачи .
Составим таблицу исходных данных, сгруппировав их по разделам «Общие», «Трактор» и «С.х. машина».
В ячейку Н3 занесем формулу определения тягового сопротивления агрегата:
=C11*C20*C19*C21+1.3*C18*C10/100
Формула сопротивления агрегата имеет вид:
Рсопр = Рвспашки + Ркачения с.х.машины, где (2.1)
Рвспашки = k×h×b×p,
k – число корпусов плуга, h – глубина вспашки (м), b – ширина захвата (м), p – удельное сопротивление рабочей машины – плуга (кН/м2);
Ркачения с.х.машины = 1,3×Gм×g/100,
Gм – вес рабочей машины (кН), g - угол уклона местности (град).
|
A |
B |
c |
D |
E |
F |
Расчет |
H |
I |
J |
K |
L |
M |
N |
|
|
Тяговое сопротивление с.х.машины, кН |
30.3505 |
3 |
||||||||||||
|
4 |
||||||||||||||
|
5 |
||||||||||||||
|
Исходные данные |
Марка трактора |
V, км/час |
Р, кН |
Степень использования тягового усилия |
Производительность, га/час |
Расход топлива, кг/га |
Максимум |
Минимум |
||||||
|
Т-150К |
3.36 |
45 |
0.686 |
0.309 |
79.071 |
7 |
||||||||
|
Показатель |
Марка трактора |
3.85 |
45 |
0.686 |
0.354 |
69.008 |
8 |
|||||||
|
Т-150К |
Т-150 |
ДТ-75М |
4.55 |
45 |
0.686 |
0.418 |
58.391 |
9 |
||||||
|
Общие |
Уклон местности, град |
1 |
1 |
1 |
6.03 |
45 |
0.686 |
0.554 |
44.060 |
10 |
||||
|
Глубина вспашки, м |
0.27 |
0.27 |
0.27 |
7.46 |
45 |
0.686 |
0.685 |
35.614 |
11 |
|||||
|
Допустимая скорость, км/час |
9 |
9 |
9 |
8.53 |
41 |
0.754 |
0.783 |
31.146 |
12 |
|||||
|
Коэффициент использования рабочего времени |
0.8 |
0.8 |
0.8 |
Т-150 |
7.65 |
42.5 |
0.726 |
0.805 |
27.564 |
13 |
||||
|
Трактор |
Вес трактора, кН |
75.35 |
69.75 |
66.1 |
8.62 |
37 |
0.836 |
0.908 |
24.462 |
<= |
<= |
14 |
||
|
Часовой расход топлива, кг/час |
30.5 |
27.75 |
16.6 |
ДТ-75М |
3.3 |
35.4 |
0.874 |
0.355 |
37.428 |
15 |
||||
|
Коэффициент буксования |
0.82 |
0.94 |
0.96 |
5.91 |
31.2 |
0.994 |
- |
- |
16 |
|||||
|
С.х. Машина |
Количество машин в агрегате |
1 |
1 |
1 |
6.58 |
27.5 |
1.131 |
- |
- |
17 |
||||
|
Вес с.х. машины, кН |
8.5 |
8.5 |
8.5 |
7.31 |
24.3 |
1.284 |
- |
- |
18 |
|||||
|
Число корпусов |
4 |
4 |
4 |
8.16 |
20.7 |
1.515 |
- |
- |
19 |
|||||
|
Ширина захвата корпуса, м |
0.35 |
0.35 |
0.35 |
9.05 |
18.2 |
1.730 |
- |
- |
20 |
|||||
|
Удельное сопротивление рабочей машины, кН/м2 |
80 |
80 |
80 |
Максимальная производительность, га/час |
0.908 |
21 |
||||||||
|
Минимальный расход топлива, кг/га |
24.462 |
22 |
||||||||||||
Расчетный лист задачи «Выбор агрегата»
Составим расчетную таблицу, занеся в нее данные тяговых характеристик тракторов в пределах допустимой рабочей скорости. Тяговые характеристики колесных и гусеничных тракторов приведены в таблицах 2.1 и 2.2.
В ячейки столбца J введем формулу для определения коэффициента использования тягового усилия:
= $H$3/(I7-$C$14*$C$10/100)
Формула имеет вид:
h=Рсопр/(Ррасп - Gт×g/100), где (2.2)
Ррасп – располагаемая тяга (кН) на скорости V (км/час);
Gт – вес трактора (кН).
Если значение коэффициента h>0,99, то трактор не способен обеспечить работу агрегата на этом режиме.
В ячейки столбца К введем формулу для определения производительности агрегата:
=ЕСЛИ(J7>0.99;"-";0.1*$C$19*$C$20*H7*$C$16*$C$13)
Формула имеет вид:
Q=0,1×k×b×V×Kбукс×Kраб.вр., где (2.3)
Kбукс – коэффициент буксования, Kраб.вр. – коэффициент рабочего времени.
Формула вычисляется, если значение коэффициента использования тягового усилия меньше 0,99, в противном случае в ячейку выводится символ «-».
В ячейки столбца L введем формулу для определения расхода топлива:
=ЕСЛИ(J7>0.99;"-";$C$15*$C$13/K7)
Формула имеет вид:
G=g×Kраб.вр/Q., где (2.4)
g – часовой расход топлива.
Формула вычисляется, если значение коэффициента использования тягового усилия меньше 0,99, в противном случае в ячейку выводится символ «-».
В ячейку К21 поместим значение, соответствующее максимальной производительности агрегата:
=МАКС(K7:K20)
В ячейку К22 поместим значение, соответствующее минимальному расходу топлива:
=МИН(L7:L20)
В столбце М установим маркер <=, указывающий на агрегат максимальной производительности:
=ЕСЛИ(K12=МАКС($K$7:$K$20);"<=";"")
В столбце N установим маркер <=, указывающий на агрегат минимального расхода топлива:
=ЕСЛИ(L13=МИН($L$7:$L$20);"<=";"")
Задания.
Определите оптимальный вариант агрегата по следующим критериям: а) максимум продуктивности; б) минимум затрат горючего.
Агрегат для сева ячменя. На машинном дворе - сеялка СЗ-3,6А и тракторы Т-150К, МТЗ-80, ЮМЗ-6Л. Выходные данные для расчета машинно-тракторного агрегата:
|
Показатель |
Марка трактора |
||
|
Т-150 |
МТЗ-80 |
ЮМЗ-6Л |
|
|
Уклон местности, град |
1 |
1 |
1 |
|
Марка с.х. машины |
СЗ-3,6 |
СЗ-3,6 |
СЗ-3,6 |
|
Количество машин в агрегате |
3 |
2 |
1 |
|
Удельное сопротивление рабочей машины, кН/м |
1,6 |
1,6 |
1,6 |
|
Масса трактора, кг |
6975 |
3160 |
2950 |
|
Масса с.х. машины, кг |
1350 |
1350 |
1350 |
|
Марка сцепки |
СП-11 |
СП-11 |
СП-11 |
|
Масса сцепки, кг |
750 |
750 |
750 |
|
Технологически допустимая рабочая скорость, км/час |
до 10 |
до 10 |
до 10 |
|
Коэффициент сопротивления качению сцепки |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
|
Часовой расход топлива двигателем трактора. Кг/час |
27,7 |
15,9 |
11,3 |
|
Коэффициент использования рабочего времени |
0,75 |
0,75 |
0,75 |
Агрегат для сева зерновых. На машинном дворе - сеялка СЗ-3,6 и тракторы Т-150, Т-150К, ДТ-75М.
|
Показатель |
Марка трактора |
||
|
Т-150К |
Т-150 |
ДТ-75М |
|
|
Уклон местности, град |
1 |
1 |
1 |
|
Марка с.х. машины |
СЗ-3,6 |
СЗ-3,6 |
СЗ-3,6 |
|
Количество машин в агрегате |
3 |
3 |
3 |
|
Удельное сопротивление рабочей машины, кН/м2 |
1,6 |
1,6 |
1,6 |
|
Масса трактора, кг |
7535 |
6975 |
6000 |
|
Масса с.х. машины, кг |
1350 |
1350 |
1350 |
|
Марка сцепки |
СП-11 |
СП-11 |
СП-11 |
|
Масса сцепки, кг |
750 |
750 |
750 |
|
Технологически допустимая рабочая скорость, км/час |
до 10 |
до 10 |
до 10 |
|
Коэффициент сопротивления качению сцепки |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
|
Часовой расход топлива двигателем трактора. Кг/час |
27,7 |
15,2 |
11,3 |
|
Коэффициент использования рабочего времени |
0,8 |
0,8 |
0,8 |
Агрегат для сева томатов. На машинном дворе - овощная сеялка СО-4,2 и тракторы Т-70С, МТЗ-80, ЮМЗ-6Л.
|
Показатель |
Обозна-чение |
Марка трактора |
||
|
Т-70С |
МТЗ-80 |
ЮМЗ-6Л |
||
|
Уклон местности, град |
і |
1 |
1 |
1 |
|
Марка с.х. машины |
СО-4,2 |
СО-4,2 |
СО-4,2 |
|
|
Глубина посева, м |
H |
0,03 |
0,03 |
0,03 |
|
Количество машин в агрегате |
n |
1 |
1 |
1 |
|
Удельное сопротивление рабочей машины, кН/м2 |
Кпл |
2,0 |
2,0 |
2,0 |
|
Масса трактора, кг |
Ттр |
4250 |
3160 |
2950 |
|
Масса с.х. машины, кг |
Тм |
700 |
700 |
700 |
|
Технологически допустимая рабочая скорость, км/час |
Vp |
до 7 |
до 7 |
до 7 |
|
Часовой расход топлива двигателем трактора. Кг/час |
Gг |
13,29 |
15,19 |
11,3 |
|
Коэффициент использования рабочего времени |
Τ |
0,75 |
0,75 |
0,75 |
Агрегат для сева подсолнуха. На машинном дворе есть сеялка СПЧ-6М и тракторы МТЗ-80, ЮМЗ-6Л, Т-70С.
|
Показатели |
Тракторы |
||
|
Т-70С |
ЮМЗ-6Л |
МТЗ-80 |
|
|
Уклон, град |
3 |
3 |
3 |
|
Технологическая скорость, км/час |
До 8,0 |
До 8,0 |
До 8,0 |
|
Ширина междурядья, м |
0,7 |
0,7 |
0,7 |
|
Удельное сопротивление, кН/м |
2,5 |
2,5 |
2,5 |
|
Масса трактора, т |
4,25 |
3,0 |
3,2 |
|
Масса сеялки, т |
0,8 |
0,8 |
0,8 |
|
Коэффициент использования времени |
0,75 |
0,75 |
0,75 |
|
Коэффициент использования тяги |
0,7-0,9 |
0,7-0,9 |
0,7-0,9 |
Агрегат для сева кукурузы на зерно. На машинном дворе - сеялка СУПН-8 и тракторы МТЗ-80, ЮМЗ-6Л, Т-70С.
|
Показатели |
Тракторы |
||
|
МТЗ-80 |
ЮМЗ-6Л |
Т-70С |
|
|
Удельное сопротивление с.х.машины, кН/м |
2,2 |
2,2 |
2,2 |
|
Ширина междурядья, м |
0,7 |
0,7 |
0,7 |
|
Масса трактора, т |
3,2 |
2,8 |
4,2 |
|
Масса с.х.машины, т |
0,8 |
0,8 |
0,8 |
|
Технологическая скорость, км/час |
До 8,0 |
До 8,0 |
До 8,0 |
|
Расход топлива, кг/час |
15,2 |
11,3 |
13,3 |
|
Коэффициент использования тягового усилия |
0,7-0,9 |
0,7-0,9 |
0,7-0,9 |
|
Коэффициент использования времени |
0,8 |
0,8 |
0,8 |
Таблица 2.1
|
Тяговая характеристика гусеничных тракторов |
||||||||||||||
|
Марка |
Т-150 |
Т-130 |
ДТ-75М |
Т-74 |
Т-70С |
Т-54В |
Т-38М |
|||||||
|
Передача |
V, км/час |
Р, кН |
V, км/час |
Р, кН |
V, км/час |
Р, кН |
V, км/час |
Р, кН |
V, км/час |
Р, кН |
V, км/час |
Р, кН |
V, км/час |
Р, кН |
|
1 |
7.65 |
42.5 |
3.16 |
94 |
3.3 |
35.4 |
4.51 |
34.5 |
1.67 |
25 |
1.03 |
20 |
4.32 |
23 |
|
2 |
8.62 |
37 |
4.38 |
65 |
5.91 |
31.2 |
5.32 |
28.5 |
2.85 |
25 |
1.75 |
20 |
5.26 |
18.2 |
|
3 |
9.72 |
32.2 |
6.36 |
42 |
6.58 |
27.5 |
6.53 |
22.5 |
4.58 |
25 |
3.49 |
20 |
5.93 |
15.8 |
|
4 |
10.62 |
29.1 |
8.79 |
27.3 |
7.31 |
24.3 |
8.01 |
17.5 |
5.63 |
25 |
4.29 |
20 |
6.95 |
12.8 |
|
5 |
11.44 |
26.6 |
8.16 |
20.7 |
9.46 |
13.9 |
6.67 |
23 |
5.08 |
20 |
10.3 |
7.2 |
||
|
6 |
12.91 |
23.1 |
9.05 |
18.2 |
11.6 |
10.5 |
7.81 |
19 |
5.94 |
16.1 |
||||
|
7 |
14.54 |
20 |
11.18 |
13.8 |
9.59 |
14.5 |
7.3 |
12.45 |
||||||
|
8 |
15.89 |
17.8 |
11.36 |
11.5 |
8.65 |
9.9 |
||||||||
|
9 |
16.1 |
|||||||||||||
|
Таблица 2.2 |
||||||||||||||
|
Тяговая характеристика колесных тракторов |
||||||||||||||
|
Марка |
Т-150К |
К-701 |
МТЗ-80 (82) |
ЮМЗ-6Л/М |
Т-40М |
Т-25А |
Т-16М |
|||||||
|
Передача |
V, км/час |
Р, кН |
V, км/час |
Р, кН |
V, км/час |
Р, кН |
V, км/час |
Р, кН |
V, км/час |
Р, кН |
V, км/час |
Р, кН |
V, км/час |
Р, кН |
|
1 |
3.36 |
45 |
3.51 |
65 |
2.5 |
14 |
7.6 |
14 |
6.9 |
11 |
6.4 |
7.74 |
4.85 |
7 |
|
2 |
3.85 |
45 |
4.23 |
65 |
4.26 |
14 |
9 |
12.5 |
8.22 |
10.45 |
8.1 |
5.76 |
6.25 |
5 |
|
3 |
4.55 |
45 |
5.09 |
65 |
7.24 |
14 |
11.1 |
9.6 |
9.69 |
8.45 |
9.4 |
4.7 |
7.6 |
4 |
|
4 |
6.03 |
45 |
8.57 |
65 |
8.9 |
14 |
19 |
4.3 |
11.32 |
6.75 |
11.9 |
3.38 |
9 |
3 |
|
5 |
7.46 |
45 |
9.51 |
55.96 |
10.54 |
11.5 |
24.5 |
2.65 |
20.96 |
14.9 |
2.36 |
14.57 |
||
|
6 |
8.53 |
41 |
10.33 |
51 |
12.33 |
9.5 |
30 |
21.9 |
1.06 |
20.6 |
||||
|
7 |
10.08 |
33.2 |
11.47 |
45.29 |
15.15 |
7.5 |
||||||||
|
8 |
13.36 |
23.6 |
12.44 |
41.25 |
17.95 |
6 |
||||||||
|
9 |
16.27 |
21.9 |
13.81 |
36.51 |
33.38 |
3 |
||||||||
|
10 |
18.62 |
19 |
23.26 |
19.04 |
||||||||||
|
11 |
22 |
15.8 |
28.04 |
14.61 |
||||||||||
|
12 |
30.07 |
10.2 |
33.75 |
11.1 |
||||||||||
