Задачи по сопромату с решениями

Задачи по сопромату (сопротивление материалов)

Задача по сопромату 1

Определить моменты шести заданных сил (рис. 1) относительно точек А, В и С, если Р1=30 н, Р2 = 50 н, Р3 = 25 н, Р4=40 и, Р5 = 35 н, Р6=54 н, АВ=1,2 м, ВС = 0,8 м, =55° и = 35°.

Решение задачи 1—определение моментов шести заданных сил относительно точки А (рис. 1, а).

1. Центр моментов в точке А. Через точку А проходят линии действия трех сил Р1, Р2 и Р5. Значит для этих сил плечи равны нулю. Следовательно,

; ; ;

Рис. 1

2. Находим момент силы Р3. Опустив из точки А на линию действия Р3 перпендикуляр AD, получим плечо силы Р3. Длину AD легко найти, так как это катет треугольника ABD: AD=AB sin a.

3. Величина момента отрицательная (сила Р3 поворачивает плечо AD вокруг точки А по ходу часовой стрелки), следовательно,

4. Находим момент силы Р4. Плечом силы Р4 является перпендикуляр АЕ к СЕ—линии действия силы Р4. Из треугольника АСЕ

АЕ = АС sin .

Величина момента положительная (плечо АЕ поворачивается около точки А силой Р4 против хода часовой стрелки). Следовательно,

5. Находим момент силы Р6. Плечом силы Р6 относительно точки А является отрезок АС, так как сила Р6 направлена к АС перпендикулярно.

Задача по сопромату 2 с решением.

Движение точки А задано уравнениями:

где х и у—в см, a t — в сек. Определить траекторию движения точки, скорость и ускорение в моменты = 0 сек, =1 и = 5 сек, а также путь пройденный точкой за 5 сек.

Решение задачи.

1. Определяем траекторию точки. Умножаем первое заданное уравнение на 3, второе—на (—4), а затем складываем их левые и правые части:

Получилось уравнение первой степени — уравнение прямой линии, значит движение точки — прямолинейное.

Для того чтобы определить координаты Ао — начального положения точки, подставим в данные сравнения значение = 0; из первого уравнения получим = 2 см, а из второго =1 см. Замечая, что при любом другом значении t (так как в оба уравнения t входит во второй степени) координаты х и у движущейся точки только возрастают, делаем окончательный вывод: траекторией точки служит полупрямая Зх — Ау — 2 = 0 с началом в точке Ао (2; 1).

2. Определяем скорость движения точки, для чего сначала найдем ее проекции на оси координат:

Тогда

Таким образом, уравнение скорости имеет вид = 5t.

При = 0 начальная скорость точки = 0.

При = 1 сек. скорость точки = 5 см/сек.

При = 5 сек. скорость точки = 25 см/сек.

3. Определяем ускорение точки.

Проекции ускорения на оси координат:

Как видно, проекции ускорения не зависят от времени, движения, значит ускорение тоже постоянно и

т. е. движение точки равноускоренное.

4.Так как в данном случае движение точки прямолинейное, то модуль ускорения можно определить путем непосредственного дифференцирования уравнения скорости:

;

5.Как установлено, движение точки прямолинейное, равноускоренное, значит векторы скорости и ускорения совпадают с траекторией точки, т. е. направлены вдоль полупрямой Зх — 4у—2 =0.

6.Определяем путь, пройденный точкой за первые 5сек движения. Выразим предварительно путь как функцию времени t.

Зная, , имеем .

Проинтегрируем последнее выражение:

При

Если , то C = ,

но так как в данном случае начальное расстояние = 0, то окончательно .

И теперь находим, что за t=5сек точка проходит расстояние

Задача по сопромату 4

Точка движется по траектории, изображенной на рис. 1.44, а, согласно уравнению s=0,2 (s —в метрах, t — в секундах). Определить скорость и ускорение точки в положениях 1 и 2.

Решение задачи. Время, необходимое для перемещения точки из положения 0 (начала отсчета) в положение t, определим из уравнения движения, подставив частные значения расстояния и времени:

Уравнение изменения скорости

Скорость точки в положении 1

м/с.

Уравнение изменения касательного ускорения

Касательное ускорение точки в положении 1

м/с.

Нормальное ускорение точки на прямолинейном участке траектории равно нулю. Скорость и ускорение точки в конце этого участка траектории показаны на рис. 1.44, б. Определим скорость и ускорение точки в начале криволинейного участка траектории. Очевидно, что = 11,5 м/с,

= 14,2 м/с2.

Нормальное ускорение точки в начале криволинейного участка

м/с.

Скорость и ускорение в начале криволинейного участка показаны на рис. 1.44, в (векторы и изображены без соблюдения масштаба).

Положение 2 движущейся точки определяется пройденным путем, состоящим из прямолинейного участка 0—1 и дуги окружности 1—2, соответствующей центральному углу 90°:

м.

Время, необходимое для перемещения точки из положения 0 в положение 2,

Скорость точки в положении 2

м/с.

Касательное ускорение точки в положении 2

Нормальное ускорение точки в положении 2

Ускорение точки в положении 2

Скорость и ускорения точки в положении 2 показаны в (векторы и изображены без соблюдения масштаба).

Задача 5 по сопромату

Определить из условия прочности размеры площадей сечений чугунного бруса, если допускаемые напряжения для материала бруса

на растяжение [р]=60 Н/мм2, на сжатие [с]=120 Н/мм2.

Решение. Брус представляет собой один раз статически неопределимую систему, так как для определения двух опорных реакций НА и НB можно составить только одно уравнение равновесия

Из условия деформации бруса следует, что перемещения опорных сечений равны нулю. Отбросим закрепление в точке А и, применив принцип независимости действия сил, составим уравнение перемещений учитывая, что сумма перемещений сечения А от всех сил равна нулю:

lHA+lP1+lP2=0

Выразим перемещения с помощью закона Гука через соответствующие силы:

lнА = НА • 2a/(E - 2F)+HA 2,5a/(EF)=3,5HA a/(EF);

lP1 = p1a/{E - 2F) + Р1 • 2,5a/(EF)=ЗР1 а/(ЕF);

lPs = –P2.2,5a/(EF).

Подставив значения lHA, lP1, 1Р2 в уравнение перемещений, получим

3,5HA a/(EF)+3Pi a /(EF) – 2,5P2 a/(EF)=0,

откуда 3,5НА + ЗР1 — 2,5Р2=0.

Тогда

НА = (2,5Р2 — ЗР1)/3,5=(2,5- 40 — 3- 10)/3,5=20 кН.

Из уравнения равновесия найдем

НВ = Р2 — Р1 — HA = 40 – 10 — 20=10 кН.

Значения реакций НА и НB получились положительными. Следовательно, их направления, которыми мы задались, соответствуют действительным.

Эпюра продольных сил показана на рис. 2.14, в.

Определим нормальные напряжения в поперечных сечениях каждого участка:

1=N1/(2F)=20/(2F)=10/F, 2=N2/(2F)=30/(2F)=15/F,

3=N3/F= – 10F.

Эпюра нормальных напряжений приведена на рис. 2.14, г. Опасными являются поперечные сечения участка //.

Условие прочности

2=15- 103/F [р],

Откуда

F15- 103/[P]=15- 103/60=250мм2.

Кр34

Задача К точкам А, С и В, D, образующим вершины квадрата со стороной 0,5 м

Рис. 66

(рис. 66, а), приложены равные по модулю силы (Р=12 н) таким образом, что они образуют две пары сил (P1, P3) и (Р2, Р4). Определить момент равнодействующей пары сил.

Решение 2 задачи

1. Перенесем силы P1 и Р3 из точек А и С соответственно

в точки В и D (рис. 66, б). В точках В и D получаются системы сходящихся сил P1 и Р2; Р3 и Р4 с одинаковыми модулями.

2. Сложим попарно эти силы у каждой из точек В и D. В обоих

случаях R1=R2 =

3.Силы R, модули которых теперь известны, направлены перпендикулярно к диагонали BD квадрата. Значит эта диагональ является плечом вновь образовавшейся пары сил (R1, R2), заменяющей собой две данные. - 4.Найдем момент пары (R1, R2):

и, следовательно,

Эту пару в соответствии со вторым решением можно представить в виде пары (R1, R2) с плечом BD (диагональю данного квадрата).

Но можно равнодействующую пару представить и в любом другом виде, например в виде сил Q = 24н, приложенных к двум любым вершинам квадрата ABCD

(рис. 66, в).

Сопромат Задача . Движение точки по прямолинейной траектории описывается уравнением

(s – в м, t – в сек).

Определить скорость и ускорение точки в начале движения. В какие моменты времени скорость и ускорение точки равны нулю? Построить графики перемещений скоростей и ускорений для первых пяти секунд движения.

Решение.

1. Продифференцировав данное уравнение движения, получим уравнение скорости

2.Чтобы определить скорость в начале движения, положим в этом уравнении время t = 0 и получим

3.Чтобы определить, в какие моменты времени скорость равна нулю, решим уравнение скорости относительно времени t, приняв в нем = 0:

Или

Отсюда

Таким образом, скорость точки дважды оказывается равной нулю: первый раз через сек., а второй раз через 3 сек после начала движения.

4. Продифференцировав уравнение скорости, получим от уравнение касательного ускорения:

5. Подставив в это уравнение значение t = 0, найдем, что в начале движения

Получившееся отрицательное значение касательного ускорения при положительном значении указывает на то, что в начале движение было замедленным.

6.Определим, в какой момент времени касательное ускорение равно нулю:

если , то 1,2t —2 = 0.

Отсюда находим, что при t’= сек.

7.Для построения графиков предварительно составим сводную таблицу числовых значений s, v и при значениях t от 0 до 5 сек.

Таблица 5

Значения t, сек	0	1	2	3	4	5
	0	- 0,2	- 1,2	- 1,8	- 0,8	3
	+0,6	- 0,8	- 1	0	2,2	5,6
	- 2	- 0,8	0,4	1,6	2,8	4

8. Построенные по этим данным графики показаны на рис.. Графики даны в масштабах: по оси времени = 0,1 сек/мм; по оси s: = 0,08 м/мм (на графике перемещений); по оси v: = 0,2 м/сек-мм (на графике скоростей,) и по оси = 0,2 -мм (на графике ускорений).

Рекомендуется построить графики в масштабах: = 0,05 сек/мм, = 0,04 м/мм, = 0,l м/сек-мм и = 0,l -мм и дать по ним описание движения точки.

Задача Точка, совершая равномерное и прямолинейное движение, проходит прямолинейный участок траектории АВ, равный 60м (рис. 201, а) за 30сек. Простояв затем 10сек на месте, точка возвращается в исходное положение со скоростью 3 м/сек. Сколько всего времени проходит от начала движения точки до ее возвращения в исходное положение? Какой путь проходит точка?

Построить графики перемещения и скорости точки.

Решение.

1. Расстояние от А до В, равное = 60м, равномерно пройдено за =30сек. В данном случае начальное расстояние = 0, поэтому из уравнения (б) находим скорость точки на участке АВ

2.Точка находится в покое в течение времени .

3.Точка возвращается в исходное положение, пройдя расстояние от В до А = 60 м со скоростью = 3 м/сек за время

4.Время от начала движения до момента возвращения в исходное положение равно:

5.Путь, пройденный точкой за это время,

6. Построим теперь график перемещения (рис. 201, б) и скорости точки (рис. 201, в) с одинаковым масштабом по оси времени.

Пример 2.14. Абсолютно жесткая (недеформирующаяся) балка АВ закреплена левым концом при помощи шарнирно неподвижной опоры А; в точках С и D поддерживается двумя вертикальными стержнями, изготовленными из различных материалов: один стальной (Fc=600 мм2), другой медный (FM=300 мм2).

Определить реакцию опоры А и усилия в стержнях при нагружении правого конца балки силой Р=80 кН. Модули упругости стержней Eс=2,0-105 Н/мм2, Eм=1,0х105Н/мм2.

Решение. Задача статически неопределимая, так как неизвестных сил четыре: составляющие НА и VА – реакции опоры А и усилия в стержнях NM и NC(рис.2,13,б), а статика дает три уравнения равновесия. Составляем уравнение проекций сил на горизонтальную ось

на вертикальную ось

Уравнение моментов сил относительно центра шарнира А имеет вид:

или после простых преобразований и сокращения

2NM+NC=3P

Уравнение перемещений составим на основе рассмотрения деформаций системы.

Вследствие удлинения стержней балка АВ поворачивается вокруг оси шарнира А. Так как балка абсолютно жесткая, то при ее вращении точки С и D, переместившись в положения С1 и D1 остаются на одной прямой АВ1.

Учитывая, что перемещения при упругих деформациях весьма малы, можно считать вертикальные перемещения точек С и D равными удлинениям стержней lс и lм.

Из подобия треугольников АСС1 и ADD1 получаем

откуда

lМ=2 lС.

Выражаем удлинения lс и lм по закону Гука:

Mc=Ncl/(EcFc); MM=NM l/(EMFM).

Таким образом, подставляя значения lс и lм в уравнение перемещений, получаем

NMl/(EMFM)=2NCl/(ECFC),

откуда

NM=2NCEMFM /(ECFC).

Учитывая найденное соотношение, находим

4NCEMFM /(ECFC)+NC=3P,

или

Определяем теперь величину NM:

Вертикальная составляющая реакции опоры А определится из уравнения равновесия

VA = P – Nc – Nм= – 2Р(ECFC+EMFM)/(ECFC+4EMFM).

Знак минус показывает, что реакция направлена не вверх, как предполагалось вначале , а вниз.

Из этого примера, как и из предыдущего, следует, что распределение усилий между элементами статически неопределимой конструкции в отличие от статически определимых зависит от соотношения жесткостей ее элементов.

Подставляя заданные числовые значения в полученные формулы, находим: