Задачи по сопромату (сопротивление материалов)
Задача по сопромату 1
Определить моменты шести заданных сил (рис. 1) относительно точек А, В и С, если Р1=30 н, Р2 = 50 н, Р3 = 25 н, Р4=40 и, Р5 = 35 н, Р6=54 н, АВ=1,2 м, ВС = 0,8 м, =55° и
= 35°.
Решение задачи 1—определение моментов шести заданных сил относительно точки А (рис. 1, а).
1. Центр моментов в точке А. Через точку А проходят линии действия трех сил Р1, Р2 и Р5. Значит для этих сил плечи равны нулю. Следовательно,
;
;
;
Рис. 1
2. Находим момент силы Р3. Опустив из точки А на линию действия Р3 перпендикуляр AD, получим плечо силы Р3. Длину AD легко найти, так как это катет треугольника ABD: AD=AB sin a.
3. Величина момента отрицательная (сила Р3 поворачивает плечо AD вокруг точки А по ходу часовой стрелки), следовательно,
,
.
4. Находим момент силы Р4. Плечом силы Р4 является перпендикуляр АЕ к СЕ—линии действия силы Р4. Из треугольника АСЕ
АЕ = АС sin .
Величина момента положительная (плечо АЕ поворачивается около точки А силой Р4 против хода часовой стрелки). Следовательно,
,
5. Находим момент силы Р6. Плечом силы Р6 относительно точки А является отрезок АС, так как сила Р6 направлена к АС перпендикулярно.
Задача по сопромату 2 с решением.
Движение точки А задано уравнениями:
где х и у—в см, a t — в сек. Определить траекторию движения точки, скорость и ускорение в моменты = 0 сек,
=1 и
= 5 сек, а также путь пройденный точкой за 5 сек.
Решение задачи.
1. Определяем траекторию точки. Умножаем первое заданное уравнение на 3, второе—на (—4), а затем складываем их левые и правые части:
Получилось уравнение первой степени — уравнение прямой линии, значит движение точки — прямолинейное.
Для того чтобы определить координаты Ао — начального положения точки, подставим в данные сравнения значение = 0; из первого уравнения получим
= 2 см, а из второго
=1 см. Замечая, что при любом другом значении t (так как в оба уравнения t входит во второй степени) координаты х и у движущейся точки только возрастают, делаем окончательный вывод: траекторией точки служит полупрямая Зх — Ау — 2 = 0 с началом в точке Ао (2; 1).
2. Определяем скорость движения точки, для чего сначала найдем ее проекции на оси координат:
Тогда
Таким образом, уравнение скорости имеет вид = 5t.
При = 0 начальная скорость точки
= 0.
При = 1 сек. скорость точки
= 5 см/сек.
При = 5 сек. скорость точки
= 25 см/сек.
3. Определяем ускорение точки.
Проекции ускорения на оси координат:
,
.
Как видно, проекции ускорения не зависят от времени, движения, значит ускорение тоже постоянно и
,
т. е. движение точки равноускоренное.
4.Так как в данном случае движение точки прямолинейное, то модуль ускорения можно определить путем непосредственного дифференцирования уравнения скорости:
;
.
5.Как установлено, движение точки прямолинейное, равноускоренное, значит векторы скорости и ускорения совпадают с траекторией точки, т. е. направлены вдоль полупрямой Зх — 4у—2 =0.
6.Определяем путь, пройденный точкой за первые 5сек движения. Выразим предварительно путь как функцию времени t.
Зная, , имеем
.
Проинтегрируем последнее выражение:
.
При
Если , то C =
,
но так как в данном случае начальное расстояние = 0, то окончательно
.
И теперь находим, что за t=5сек точка проходит расстояние
.
Задача по сопромату 4
Точка движется по траектории, изображенной на рис. 1.44, а, согласно уравнению s=0,2 (s —в метрах, t — в секундах). Определить скорость и ускорение точки в положениях 1 и 2.
Решение задачи. Время, необходимое для перемещения точки из положения 0 (начала отсчета) в положение t, определим из уравнения движения, подставив частные значения расстояния и времени:
Уравнение изменения скорости
Скорость точки в положении 1
м/с.
Уравнение изменения касательного ускорения
Касательное ускорение точки в положении 1
м/с.
Нормальное ускорение точки на прямолинейном участке траектории равно нулю. Скорость и ускорение точки в конце этого участка траектории показаны на рис. 1.44, б. Определим скорость и ускорение точки в начале криволинейного участка траектории. Очевидно, что = 11,5 м/с,
= 14,2 м/с2.
Нормальное ускорение точки в начале криволинейного участка
м/с.
Скорость и ускорение в начале криволинейного участка показаны на рис. 1.44, в (векторы и
изображены без соблюдения масштаба).
Положение 2 движущейся точки определяется пройденным путем, состоящим из прямолинейного участка 0—1 и дуги окружности 1—2, соответствующей центральному углу 90°:
м.
Время, необходимое для перемещения точки из положения 0 в положение 2,
c.
Скорость точки в положении 2
м/с.
Касательное ускорение точки в положении 2
.
Нормальное ускорение точки в положении 2
.
Ускорение точки в положении 2
Скорость и ускорения точки в положении 2 показаны в (векторы и
изображены без соблюдения масштаба).
Задача 5 по сопромату
Определить из условия прочности размеры площадей сечений чугунного бруса, если допускаемые напряжения для материала бруса
на растяжение [р]=60 Н/мм2, на сжатие [
с]=120 Н/мм2.
Решение. Брус представляет собой один раз статически неопределимую систему, так как для определения двух опорных реакций НА и НB можно составить только одно уравнение равновесия
Из условия деформации бруса следует, что перемещения опорных сечений равны нулю. Отбросим закрепление в точке А и, применив принцип независимости действия сил, составим уравнение перемещений учитывая, что сумма перемещений сечения А от всех сил равна нулю:
lHA+
lP1+
lP2=0
Выразим перемещения с помощью закона Гука через соответствующие силы:
lнА = НА • 2a/(E - 2F)+HA 2,5a/(EF)=3,5HA a/(EF);
lP1 = p1a/{E - 2F) + Р1 • 2,5a/(EF)=ЗР1 а/(ЕF);
lPs = –P2.2,5a/(EF).
Подставив значения lHA,
lP1,
1Р2 в уравнение перемещений, получим
3,5HA a/(EF)+3Pi a /(EF) – 2,5P2 a/(EF)=0,
откуда 3,5НА + ЗР1 — 2,5Р2=0.
Тогда
НА = (2,5Р2 — ЗР1)/3,5=(2,5- 40 — 3- 10)/3,5=20 кН.
Из уравнения равновесия найдем
НВ = Р2 — Р1 — HA = 40 – 10 — 20=10 кН.
Значения реакций НА и НB получились положительными. Следовательно, их направления, которыми мы задались, соответствуют действительным.
Эпюра продольных сил показана на рис. 2.14, в.
Определим нормальные напряжения в поперечных сечениях каждого участка:
1=N1/(2F)=20/(2F)=10/F,
2=N2/(2F)=30/(2F)=15/F,
3=N3/F= – 10F.
Эпюра нормальных напряжений приведена на рис. 2.14, г. Опасными являются поперечные сечения участка //.
Условие прочности
2=15- 103/F
[
р],
Откуда
F15- 103/[
P]=15- 103/60=250мм2.
Кр34
Задача К точкам А, С и В, D, образующим вершины квадрата со стороной 0,5 м
Рис. 66
(рис. 66, а), приложены равные по модулю силы (Р=12 н) таким образом, что они образуют две пары сил (P1, P3) и (Р2, Р4). Определить момент равнодействующей пары сил.
Решение 2 задачи
1. Перенесем силы P1 и Р3 из точек А и С соответственно
в точки В и D (рис. 66, б). В точках В и D получаются системы сходящихся сил P1 и Р2; Р3 и Р4 с одинаковыми модулями.
2. Сложим попарно эти силы у каждой из точек В и D. В обоих
случаях R1=R2 =
3.Силы R, модули которых теперь известны, направлены перпендикулярно к диагонали BD квадрата. Значит эта диагональ является плечом вновь образовавшейся пары сил (R1, R2), заменяющей собой две данные. - 4.Найдем момент пары (R1, R2):
и, следовательно,
Эту пару в соответствии со вторым решением можно представить в виде пары (R1, R2) с плечом BD (диагональю данного квадрата).
Но можно равнодействующую пару представить и в любом другом виде, например в виде сил Q = 24н, приложенных к двум любым вершинам квадрата ABCD
(рис. 66, в).
Сопромат Задача . Движение точки по прямолинейной траектории описывается уравнением
(s – в м, t – в сек).
Определить скорость и ускорение точки в начале движения. В какие моменты времени скорость и ускорение точки равны нулю? Построить графики перемещений скоростей и ускорений для первых пяти секунд движения.
Решение.
1. Продифференцировав данное уравнение движения, получим уравнение скорости
.
2.Чтобы определить скорость в начале движения, положим в этом уравнении время t = 0 и получим
.
3.Чтобы определить, в какие моменты времени скорость равна нулю, решим уравнение скорости относительно времени t, приняв в нем = 0:
Или
.
Отсюда
и
Таким образом, скорость точки дважды оказывается равной нулю: первый раз через сек., а второй раз через 3 сек после начала движения.
4. Продифференцировав уравнение скорости, получим от уравнение касательного ускорения:
.
5. Подставив в это уравнение значение t = 0, найдем, что в начале движения
.
Получившееся отрицательное значение касательного ускорения при положительном значении указывает на то, что в начале движение было замедленным.
6.Определим, в какой момент времени касательное ускорение равно нулю:
если , то 1,2t —2 = 0.
Отсюда находим, что при t’=
сек.
7.Для построения графиков предварительно составим сводную таблицу числовых значений s, v и при значениях t от 0 до 5 сек.
Таблица 5
Значения t, сек |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
0 |
- 0,2 |
- 1,2 |
- 1,8 |
- 0,8 |
3 |
|
+0,6 |
- 0,8 |
- 1 |
0 |
2,2 |
5,6 |
|
- 2 |
- 0,8 |
0,4 |
1,6 |
2,8 |
4 |
8. Построенные по этим данным графики показаны на рис.. Графики даны в масштабах: по оси времени = 0,1 сек/мм; по оси s:
= 0,08 м/мм (на графике перемещений); по оси v:
= 0,2 м/сек-мм (на графике скоростей,) и по оси
= 0,2
-мм (на графике ускорений).
Рекомендуется построить графики в масштабах: = 0,05 сек/мм,
= 0,04 м/мм,
= 0,l м/сек-мм и
= 0,l
-мм и дать по ним описание движения точки.
Задача Точка, совершая равномерное и прямолинейное движение, проходит прямолинейный участок траектории АВ, равный 60м (рис. 201, а) за 30сек. Простояв затем 10сек на месте, точка возвращается в исходное положение со скоростью 3 м/сек. Сколько всего времени проходит от начала движения точки до ее возвращения в исходное положение? Какой путь проходит точка?
Построить графики перемещения и скорости точки.
Решение.
1. Расстояние от А до В, равное = 60м, равномерно пройдено за
=30сек. В данном случае начальное расстояние
= 0, поэтому из уравнения (б) находим скорость точки на участке АВ
.
2.Точка находится в покое в течение времени .
3.Точка возвращается в исходное положение, пройдя расстояние от В до А = 60 м со скоростью
= 3 м/сек за время
.
4.Время от начала движения до момента возвращения в исходное положение равно:
.
5.Путь, пройденный точкой за это время,
.
6. Построим теперь график перемещения (рис. 201, б) и скорости точки (рис. 201, в) с одинаковым масштабом по оси времени.
Пример 2.14. Абсолютно жесткая (недеформирующаяся) балка АВ закреплена левым концом при помощи шарнирно неподвижной опоры А; в точках С и D поддерживается двумя вертикальными стержнями, изготовленными из различных материалов: один стальной (Fc=600 мм2), другой медный (FM=300 мм2).
Определить реакцию опоры А и усилия в стержнях при нагружении правого конца балки силой Р=80 кН. Модули упругости стержней Eс=2,0-105 Н/мм2, Eм=1,0х105Н/мм2.
Решение. Задача статически неопределимая, так как неизвестных сил четыре: составляющие НА и VА – реакции опоры А и усилия в стержнях NM и NC(рис.2,13,б), а статика дает три уравнения равновесия. Составляем уравнение проекций сил на горизонтальную ось
на вертикальную ось
Уравнение моментов сил относительно центра шарнира А имеет вид:
или после простых преобразований и сокращения
2NM+NC=3P
Уравнение перемещений составим на основе рассмотрения деформаций системы.
Вследствие удлинения стержней балка АВ поворачивается вокруг оси шарнира А. Так как балка абсолютно жесткая, то при ее вращении точки С и D, переместившись в положения С1 и D1 остаются на одной прямой АВ1.
Учитывая, что перемещения при упругих деформациях весьма малы, можно считать вертикальные перемещения точек С и D равными удлинениям стержней lс и
lм.
Из подобия треугольников АСС1 и ADD1 получаем
,
откуда
lМ=2
lС.
Выражаем удлинения lс и
lм по закону Гука:
Mc=Ncl/(EcFc); MM=NM l/(EMFM).
Таким образом, подставляя значения lс и
lм в уравнение перемещений, получаем
NMl/(EMFM)=2NCl/(ECFC),
откуда
NM=2NCEMFM /(ECFC).
Учитывая найденное соотношение, находим
4NCEMFM /(ECFC)+NC=3P,
или
Определяем теперь величину NM:
.
Вертикальная составляющая реакции опоры А определится из уравнения равновесия
VA = P – Nc – Nм= – 2Р(ECFC+EMFM)/(ECFC+4EMFM).
Знак минус показывает, что реакция направлена не вверх, как предполагалось вначале , а вниз.
Из этого примера, как и из предыдущего, следует, что распределение усилий между элементами статически неопределимой конструкции в отличие от статически определимых зависит от соотношения жесткостей ее элементов.
Подставляя заданные числовые значения в полученные формулы, находим: