Сборник задач по физике твёрдого тела. Элементы физики атома и квантовой механики.
1. АТОМ ВОДОРОДА ПО БОРУ
1. Момент импульса электрона на стационарных орбитах
, (1.1)
где mе - масса электрона; rn - радиус стационарной орбиты; Vn - скорость электрона на этой орбите; h - постоянная Планка.
2. Полная энергия электрона, находящегося на n-ой орбите
, (1.2)
где ε0- диэлектрическая постоянная.
3. Обобщенная формула Бальмера
, (1.3)
, (1.4)
где R' и R=cR' - постоянная Ридберга; n1, и n2 - целые числа: n1, - номер серии спектральных линий (n1=1 - серия Лаймана. n1=2 - серия Бальмера. n1=3 - серия Пашена и т. д.); n2=n1+m (m - номер спектральной линии в данной серии).
4. Энергия фотона, испущенного атомом водорода и водородоподобных ионов при переходе из одного стационарного состояния в другое
. (1.5)
2. АТОМ ВОДОРОДА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
1. В атоме водорода (водородоподобный ион) потенциальная энергия U(r) имеет вид
, (2.1)
где z - зарядовое число; е - заряд электрона; ε0 - электрическая постоянная; г - расстояние от ядра.
2. Собственные значения полной энергии электрона в атоме водорода
, (2.2)
где n - главное квантовое число (n=1,2,3,...); - постоянная Планка.
3. Вероятность dω того, что электрон находится в области, ограниченной элементом объема dV, взятого в окрестности точки с координатами (r, θ,φ)
, (2.3)
где n, l, m - квантовые числа: главное, орбитальное, магнитное;
– волновая функция электрона:
– элементарный объём (в сферических координатах).
4. В S - состоянии волновая функция не зависит от т. е. является сферически симметричной и имеет вид:
- в 1S - состоянии (основном) ; (2.4)
- в 2S - состоянии , (2.5)
где - боровский радиус.
5. Орбитальный момент импульса электрона в атоме водорода
, (2.6)
где l – орбитальное квантовое число (l=0,1,2,3,…,(n-1)).
6. Орбитальный магнитный момент электрона
, (2.7)
где µB - магнетон Бора.
7. Спин (собственный момент импульса электрона)
, (2.8)
где S - спиновое квантовое число. S = 1/2.
8. Спиновый магнитный момент электрона
. (2.9)
9. Проекция орбитального момента импульса и магнитного момента на направление внешнего магнитного поля Z
, (2.10)
, (2.11)
где m - магнитное квантовое число (m=0, ±1, ±2,...±1).
10. Проекция спина и спинового магнитного момента на направление внешнего магнитного поля Z
, (2.12)
, (2.13)
где (ms - спиновое магнитное квантовое число ms = ± 1/2).
11. Состояния электрона в атоме водорода:
квантовое число 1=0 1 2 3 4 5... ;
условное обозначение s р d f g h... .
12. Сила, действующая на контур с током в магнитном поле
, (2.14)
где - изменение индукции вдоль оси Z;
α - угол между векторами µ и В.
3. ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА МИКРОЧАСТИЦ. СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
1. Длина волны де Бройля
, (6.1)
где p - импульс частицы; = 6,62·10-34 Дж·с - постоянная Планка. Импульс частицы и его связь с кинетической энергией для двух случаев:
а) ; (6.2)
б) ;
, если
, (6.3)
где V - скорость движения частицы; С - скорость света; m0 - масса покоя частицы; – энергия покоя частицы.
2. Соотношения неопределенностей для координат и импульсов
, (6.4)
где ΔPx - неопределенность проекции импульса частицы на ось х; Δx неопределенность ее координаты; Дж·с.
3. Соотношение неопределенностей для энергии
, (6.5)
где ΔЕ - неопределенность энергии; Δt - время пребывания квантовой системы в данном энергетическом состоянии.
4. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ
1. Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний
, (7.1)
где ψ(х) - волновая функция, описывающая состояние частицы; m - масса частицы; Е - полная энергия частицы; U = U(х) - потенциальная энергия частицы; = 1,5·10-34 Дж·с.
2. Одномерное уравнение Шредингера для потенциальной ямы
, (7.2)
![]() |
где ψ(х) - волновая функция, описывающая состояние частицы, находящейся в бесконечно глубоком одномерном потенциальном ящике для области II(см. рис.7.1)
3. Решение уравнения Шредингера (7.2)
, (7.3)
где ψn(х) - собственные волновые функции частицы; n - квантовое число (n = 1,2,3,...); l - ширина ящика.
4. Собственное значение полной энергии частицы, находящейся на nM энергетической уровне в потенциальном ящике
. (7.4)
5. Плотность вероятности
, (7.5)
где dψ(х) - вероятность того, что частица может быть обнаружена вблизи точки с координатой х на участке dх.
6. Вероятность обнаружения частицы в интервале от x1 до х2
. (7.6)
7. Условие нормировки собственной функции
. (7.7)
8. Связь волнового вектора с полной энергией
. (7.8)
5. ЛИНЕЙНЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР. ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦЫ ЧЕРЕЗ БАРЬЕР. ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ
1. Коэффициент преломления волн де Бройля на границе низкого потенциального барьера бесконечной ширины
, (8.1)
где λ1, λ2 - длина волны де Бройля перед барьером и в области барьера; k1,k2 - волновые числа.
2. Коэффициент отражения ρ и пропускания волн де Бройля через низкий потенциальный барьер (U < Е) бесконечной ширины
; (8.2)
. (8.3)
3. Коэффициент прозрачности барьера конечной ширины (вероятность прохождения частицы через барьер)
. (8.4)
В случае прямоугольного барьера конечной ширины d
. (8.5)
4. Потенциальная энергия гармонического осциллятора
, (8.6)
где β - коэффициент квазиупругой силы.
5. Приведенная масса
. (8.7)
6. Собственная частота гармонического осциллятора
. (8.8)
7. Энергия колебаний гармонического квантового осциллятора
, (8.9)
где n = 0,1,2,3...
ЗАДАЧИ
1. РЕНТГЕНОВСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЕГО СПЕКТРЫ
Основные формулы и соотношения
1. Коротковолновая граница λmin рентгеновского спектра определяется выражением.
, (3.1)
где е - заряд электрона; U - разность потенциалов, приложенная к трубке.
2. Закон Мозли. Длина волны характеристического рентгеновского излучения может быть определена по формуле
, (3.2)
где Z, - порядковый номер элемента в таблице Менделеева; b - постоянная экранирования. Для К - серии b=1; n1=1; n2=2,3,4, R - постоянная Ридберга.
Закон Мозли в этом случае будет иметь вид (для Кα-серии)
. (3.3)
3. Энергия фотона, соответствующего К - линии характеристического излучения, выражается формулой
, (3.4)
где Е1=13,55 эВ.
4. Максимум интенсивности непрерывного рентгеновского спектра определяется формулой
. (3.5)
Примеры решения задач
Задача 1. Определить энергию и длину волны К - линии характеристического рентгеновского спектра, излучаемого вольфрамом при бомбардировке его быстрыми электронами.
Решение. Быстрые электроны, проникая внутрь электронной оболочки атома, выбивают электроны, принадлежащие внутренним электронным слоям. Ближайший к ядру электронный слой (К-слой) содержит два электрона, если один из этих электронов оказывается выбитым за пределы атома, то при переходе электрона из вышележащих слоев (L, М,N...) на К-слой возникает соответствующая линия К-серии (рис. 3.1).
При переходе электрона с L-слоя на К-слой излучается наиболее интенсивнее К - линия характеристического рентгеновского спектра. Электрон L-слоя находится в поле ядра с зарядом Zе, которое ослаблено одним электроном, оставшимся в К-слое. Таким образом, заряд Z1 (эффективный заряд), определяющий электрическое поле, в котором находится электрон, переходящий с L,-слоя на К-слой, меньше заряда ядра на величину заряда одного электрона
. (1)
Внешние электронные слои можно рассматривать как сферически симметричные и тогда электрическое поле внутри этих слоев отсутствует. Поэтому для L-К-перехода можно использовать сериальную формулу выведенную для атома водорода;
Если заменить в ней заряд Z1, используя формулу (1), получим Формулу
. (2)
Подставив в (2) выражение λK через энергий фотона
, (3)
и решив полученное уравнение относительно εKα, найдем
. (4)
Но hcR есть энергия ионизации атома водорода (E1=13,6 эВ), следовательно
. (5)
Подставив в (5) значение зарядового числа Z (для вольфрама Z=74) и величину энергии ионизации атома водорода, и, произведя вычисления, получим:
.
Длину волны рентгеновского излучения можно определить по формуле (2) или (3). Воспользуемся последней формулой, подставив числовые значения величин, получим
.
Ответ.
Задачи с ответами для самостоятельного решения
101. Вычислить частоту и длину волны Кα - линии Мо, а также энергию кванта, соответствующего этой линии.
(Ответ: ν=4,16∙1018 Гц; λ=0,72А; E=hν=17,1∙103 эВ).
102. Найти приближенно минимальное напряжение U на рентгеновской трубке, при котором начинают появляться линии серии Кα Мо.
(Ответ: U=23 кВ).
103. То же, что и в предыдущей задаче, но для меди.
(Ответ: U=10 кВ).
104. Найти приближенно минимальное напряжение на рентгеновской трубке, при котором начинают появляться линии серии Кα железа.
(Ответ: U=8,5 кВ).
105. Найти минимальное напряжение на рентгеновской трубке, при котором начинают появляться линии серии Кα хрома.
(Ответ: U=6.0 кВ).
106. Может ли Кα -излучение Fе вызвать вторичное γ-излучение хрома и кобальта?
(Ответ: Cr - может, а Со – нет, так как εK(Fe)=6,35 кэВ, εК(Со)=6,87 кэВ, εК(Cr)=5,38 кэВ).
107. Какие линии никеля возбуждаются Кα - излучением кобальта?
(Ответ: Возбуждаются все линии всех серий, кроме К-серии).
108. Найти границу К-полосы поглощения молибдена.
(Ответ: λМо = 0,62 А).
109. Найти границу К-полосы поглощения меди и железа.
(Ответ: λFe=1,7 A; λCu=1,4 A).
110. Известно, что длина волны Кα - линии одного элемента равна 0,788 А, а другого 0,713 А. Выяснить, стоят ли эти элементы рядом таблице Менделеева. Какие это элементы?
(Ответ: Не стоят рядом, N40, N42).
2. ЭЛЕМЕНТЫ КРИСТАЛЛОГРАФИИ И ДИФРАКЦИИ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ
Основные формулы и соотношения
1. Молярный объем кристалла
, (4.1)
где µ - молярная масса вещества; ρ - плотность кристалла. Объем V элементарной ячейки в кристаллах:
а) при кубической сингонии V=a3, где а - параметр элементарной ячейки;
б) при гексагональной сингонии , где а, с - параметры решетки.
Если для гексагональной решетки принять теоретическое значение
.
2. Число элементарных ячеек в одном моле кристалла
или
, (4.2)
где k - число одинаковых атомов в химической формуле соединена (например, в кристалле NaCl k=1); Nа - постоянная Авогадро; n – число атомов, приходящихся на элементарную ячейку.
На рис. 4.1 изображена структура NаСl. Аналогичную структуру имен соединения АgВr, КВr, МnO и другие.
3. Число z элементарных ячеек в единице объема кристалла или в общем случае
,
причем для кристалла, состоящего из одинаковых атомов (k=1)
. (4.3)
4. Параметр а кубической решетки
. (4.4)
Расстояние d между соседними атомами в кубической решетке:
а) в гранецентрированной ;
б) в объемно-центрированной .
5. Для обозначения узлов, направлений плоскостей в решетке вводятся специальные индексы. Индексы узлов записывают в двойных квадратных скобках [[mnp]]. Для отрицательных индексов над буквой ставится знак минус, например (рис. 4.2).
6. Индексы направлений записываются в одинарных квадратных скобках [mnp]. Индекс направления совпадает с индексом узла, через который проходят прямая, если эта прямая одновременно проходит и через начало координат [[000]] рис. 4.2. Индексы направления задают не одну прямую в кристалле, а семейство параллельных прямых. Изменение всех индексов на обратные по знаку [mnp] означает то же самое направление в кристалле.
7. Период идентичности вдоль прямой задается индексами [mnp] в кубической решетке и выражается соотношением
, (4.5)
где а - параметр элементарной ячейки.
8. Угол φ между прямыми [m1n1p1] и [m2n2p2] в кубической решетке выражается формулой
. (4.6)
9. Индексы плоскости (индексы Миллера) записывают в круглых скобках и стандартно обозначают (hkl). Изменение всех индексов на обратные () отвечает тому же семейству плоскостей.
Для нахождения отрезков следует взять обратные величины индексов Миллера (1/h, 1/k. 1/l) и привести их к наименьшему целому, кратному каждому из полученных чисел. Полученные значения и есть наименьшие отрезки, отсекаемые плоскостью (hkl) на осях координат.
Если известны отрезки, отсекаемые на осях координат, то индексы Миллера пропорциональны направляющим косинусам вектора нормали к данной плоскости. Поэтому индексы Миллера для некоторого семейства плоскостей совпадают с индексами направлений нормали к этим плоскостям.
10. Угол между плоскостями (h1k1l1) и (h2k2l2) определяется из формулы
, (4.7)
а между прямой [mnp] и плоскостью (hkl) - из формулы
. (4.8)
11. Формула Вульфа-Брэгга
, (4.9)
где d - межплоскостное расстояние в кристалле; θ - угол скольжения (угол между направлением пучка параллельных лучей, падающих на кристалл, и гранью кристалла), определяющий направление, в котором имеет место зеркальное отражение лучей (дифракционный максимум); m - порядок отражения (для поликристаллов m=1); λ - длина волны рентгеновского излучения.
12. Межплоскостное расстояние d(hkl), индексы Миллера и период решетки кубического кристалла связаны между собой соотношением
. (4.10)
Подставляя это равенство в формулу Вульфа-Брэгга, получим
. (4.11)
13. Для простой кубической решетки
Σ=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,....
Для объемно-центрированной (ОЦК) наблюдаются отражения только от тех плоскостей, для которых сумма индексов четная, то есть
Σ=2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,...;
для гранецентрированной кубической решетки наблюдается отражения от тех плоскостей, для которых все три индекса Миллера четные или все три нечетные, то есть
Σ=3,4,8,11,12,16,19,...;
Примеры решения задач с ответами
Задача 1. Параллельный пучок рентгеновского излучения падает на грань кристалла. Под углом θ=65° к плоскости грани наблюдается максимум первого порядка. Расстояние d между атомными плоскостями кристалла 280 пм. Определить длину волны λ рентгеновского излучения.
Решение. для решения задачи необходимо воспользоваться формулой Вульфа-Брэгга 2dsinθ=mλ.
Так как m=1, то, подставив в эту формулу числовые величины, получим
λ = 2·280·sin65=560·sin65 = 506 пм.
Ответ: λ = 506 пм.
Задача 2. Определить число узлов, приходящихся на одну элементарную ячейку в гранецентрированной кубической решетке.
Решение. Выделим элементарную ячейку в кубической решетке (рис. 4,3) и определим, скольким соседним элементарным ячейкам принадлежит тот или иной узел выделенной ячейки. В этой ячейке имеются узлы двух типов: А (находящиеся в вершинах куба) и В (находящиеся на гранях куба в точке пересечения диагоналей).
Узел А принадлежит одновременно восьми элементарным ячейкам. Следовательно, в данную ячейку узел А входит с долей 1/8. Узел В входит одновременно только в две ячейки и, следовательно, в данную ячейку узел В входит с долей 1/2. Если учесть, что число узлов типа А в ячейке равно восьми, а число узлов типа В равно шести, т. е. числу граней, то общее число узлов, приходящихся на одну элементарную ячейку в гранецентрированной решетке
n = (1/8)∙8+(1/2)∙6=1+3=4 узла.
Так как число узлов равно числу атомов, то в соответствующей структуре на элементарную ячейку приходится четыре атома.
Задача 3. Определить параметр, а решетки и расстояние d между ближайшими соседними атомами кальция (решетка, гранецентрированная кубической сингонии). Плотность ρ кристалла кальция равна 1,55∙103 кг/м3;
Решение. Параметр кубической решетки, а связан с объемом элементарной ячейки соотношением V=а3. С другой стороны, объем элементарной ячейки равен отношению молярного объема к числу элементарных ячеек в одном моле кристалла: V=Vm/zm.
Приравняв правые части приведенных выражений для V, найдем
. (1)
Молярный объем кальция Vm=µ/ρ, где ρ - плотность кальция; µ – молярная масса.
Число элементарных ячеек в одном моле zm=Na/n, где n - число атомов, приходящихся на одну ячейку. Подставив в формулу (1) приведенные выражения для Vm и zm, получим а3 = nµ/ρNa.
Подставив в последнюю Формулу числовые значения n=4 и µ, ρ и Na, получим, а=556 пм.
Расстояние d между ближайшими соседними атомами находится из простых геометрических соображений: .
Подставив в эту формулу величину а, получим d=393 пм.
Ответ: d=393 пм.
Задачи для самостоятельного решения
111. Сколько атомов приходится на одну элементарную ячейку объемно центрированной решетки кубической сингонии? Изобразить на рисунке.
(Ответ: 2 атома).
112.Сколько атомов приходится на одну элементарную ячейку гранецентрированной решетки кубической сингонии. Изобразить на рисунке.
(Ответ: 4 атома).
113.Определить число элементарных ячеек в единице объема меди (А=63,5∙10-3 кг/моль, ρ=8,9·103 кг/м3).
(Ответ: n=2,1·1028 м-3).
114.Определить плотность кальция, если у него решетка гранецентрированная кубическая, а расстояние между ближайшими атомами d=3,93 А, А=40∙10-3 кг/моль.
(Ответ: ρ=4·103 кг/м3).
115. Определить число элементарных ячеек в единице объема бария (ρ=3,5∙103 кг/м3, А=137·10-3 кг/моль).
(Ответ: n=7,6·1028 м3).
116. Найти плотность кристалла неона, если известно, что решетка его кубическая гранецентрированная ( а=4,5 А и А=20,2·10-3 кг/моль).
(Ответ: ρ=1472,91 кг/м-3).
117. Найти плотность кристалла стронция, если известно, что его решетка гранецентрированная кубическая, а расстояние между ближайшими атомами d=4,3 А и А=87,6·10-3 кг/моль
(Ответ: ρ=2,6·103 кг/м3).
118. Найти параметр решетки а и расстояние d между ближайшими соседними атомами кристалла: 1) алюминия ρAl=2,7 г/см3; А=27·103 кг/моль; 2) вольфрама ρW=19,3 г/см3; А=184·10-3 кг/моль.
(Ответ: 1) аAl = 4,04 A; d = 2,8 A; 2) aW = 3,16 A; d = 2,7 A).
119. Определить постоянную решетки сильвина (КСl), если Кα линия железа (λKα=1,9373 A) отражается от грани (001) под углом 18o3' во втором порядке.
(Ответ: а=6,28 А).
120. Изобразить схематически на рисунке ось второго, третьего, четвёртого и шестого порядка на лауэграмме или эпиграмме.
3. ТЕПЛОВЫЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ (ТЕПЛОЕМКОСТЬ, ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ, ТЕПЛОВОЕ РАСШИРЕНИЕ)
Основные формулы и соотношения
1. Внутренняя энергия химически простых твердых тел к классической теории теплоемкости дается формулой
U = 3RT, (5.1)
где R - универсальная газовая постоянная; Т - термодинамическая температура.
2. Закон Дюлонга и Пти. Молярная теплоемкость СV, простых твердых тел определяется
. (5.2)
3. Закон Неймана-Коппа. Молярная теплоемкость химически сложных тел (состоящих из различных атомов)
, (5.3)
где n - число частиц в химической формуле соединения.
4. Среднее значение энергии квантового осциллятора, приходящейся на одну степень свободы, в квантовой теории Эйнштейна определяется формулой
, (5.4)
где ε0 - нулевая энергия (ε0=1/2ω));
- постоянная Планка; ω - круговая частота; k- постоянная Больцмана; Т - термодинамическая температура.
5. Внутренняя энергия кристалла в квантовой теории Эйнштейна (для моля) определяется формулой.
, (5.5)
где - нулевая энергия по Эйнштейну:
- характеристическая температура Эйнштейна.
6. Молярная теплоемкость кристалла в квантовой теории теплоемкости Энштейна
. (5.6)
При низких температурах (Т<θЕ)
.
7. Энергия U твердого тела связана со средней энергией квантового осциллятора и функцией распределения частот g(ω) соотношением
. (5.7)
8. Внутренняя энергия кристалла по Дебаю (для моля)
, (5.8)
где - нулевая энергия кристалла по Дебаю:
- характеристическая температура Дебая.
9. Теплоемкость кристалла по Дебаю (для моля)
. (5.9)
В области низких температур (Т<θд) формула (5.9) принимает вид
. (5.10)
10. Энергия фонона ε связана с круговой частотой колебания соотношением
. (5.11)
11. Квазиимпульс фонона определяется выражением
. (5.12)
12. При малых значениях энергии фонона дисперсией волн можно пренебречь и тогда групповая и фазовая скорости совпадают
. (5.13)
Скорости продольных Ve и поперечных Vt волн в кристалле определяются выражениями
,
. (5. 14)
где Е и G соответственно модули растяжения и сдвига.
Усредненное значение скорости звука связано с Ve и Vt, соотношением
. (5.15)
13. Количество теплоты dθ, перенесенное через поверхность площадью S, перпендикулярную направлению теплового потока, за время dt равно
. (5.16)
где К - коэффициент теплопроводности; - градиент температуры.
14. Коэффициент теплопроводности К; теплоемкость С, рассчитанная на единицу объема; скорость V звука (усредненное значение) и средняя длина свободного пробега фононов связаны соотношением
. (5.17)
15. Сила 1(х), возвращающая частицу в положение равновесия при (гармонических колебаниях, описывается соотношением
. (5.18)
где β - коэффициент гармоничности, связанный с равновесным расстоянием r0 между атомами кристалла и модулем Юнга Е соотношением
, (5.19)
- коэффициент ангармоничности, характеризующий асимметрию колебании атомов в твердом теле. Для оценки по порядку величины можно принять
. (5.20)
16. Коэффициент линейного расширения по определению записывается:
. (5.21)
Теоретически он выражается через коэффициенты и
формулой
или приближенно
,
где - постоянная Больцмана.
Примеры решения задач
Задача 1. Определить теплоту, необходимую для нагревания кристалла NаСl массой 20 грамм от Т1=2 К до Т2=4 К. Характеристическая температуря θд для NаС1 равна 320.
Решение. Так как Т<θд, то в этом случае имеет место формула
. (1)
Но
. (2)
Из (2) имеем
. (3)
Подставив числовые значения величин, получим
.
Ответ: Q = 1,22·10-2Дж.
Задачи для самостоятельного решения
121. Вычислить удельную теплоемкость кристалла меди А=6З,5·10-3 кг/м3; Т = 390 К. (Ответ: С = 390 Дж/кг·К).
122. Определить изменение внутренней энергии кристалла никеля при нагревании его от t1= 0°С до t2= 200°С. Масса кристалла m=20г, А = 58,7·10-3 кг/моль. (Ответ: dU = 1,7 кДж),
123. Пользуясь законом Дюлонга и Пти, найти, во сколько раз удельная теплоемкость алюминия (А = 27·10-3 кг/моль) больше удельной теплоемкости платины (А = 185·10-3 г/моль)? (Ответ: В 7,2 раза).
124. Вычислить нулевую (Т = 0) энергию одного килоатома меди. Характеристическая температура для меди θD = 330 К, (Ответ: Ео = 2,99 МДж).
125. Определить максимальную частоту собственных колебаний атомов в кристалле золота по теории Дебая. Характеристическая температура золота θD = 225 К. (Ответ: = 3,76·1012 Гц).
126. Вычислить максимальную частоту собственных колебаний атомов кристалла серебра, если известно, что килоатомная теплоемкость серебра (Сν) при Т = 20 К равна 1,7 кДж/К-атом. Считать условие Т << QD выполнимым. (Ответ: = 4·1012 Гц).
127. Найти отношение изменения внутренней энергии (ΔЕ = E – Е0) к величине нулевой энергии (Е0) одного килоатома кристалла при нагревании его от Т1 = 0 К до Т2 = 0,1θD. Считать Т << θD. (Ответ: 5,2·103).
128. Определить изменение внутренней энергии одного килоатома кристалла при нагревании его от 0 К до Т = 0,1 θD. Считать θD = 300K, Т << θD.
(Ответ: ΔU = 14,6 кДж).
129. При нагревании m=10 г серебра от Т1 = 10 К до Т2 = 20 К было подведено ΔQ = 0,71 Дж теплоты. Определить дебаевскую температуру θD серебра. Считать µAg = 108 кг/кмоль. (Ответ: θD=212 К).
130. Вычислить теплоемкость цинка массой 100 г при температуре Т = 10К. характеристическая температура θ = 300 К. Считать Т << θD. µZn=654 кг/кмоль. (Ответ: С = 0,47 Дж/К).
4. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ ПОЛУПРОВОДНИКОВ. ЭФФЕКТ ХОЛЛА
Основные формулы и соотношения
1. Удельная проводимость собственных полупроводников
, (9.1)
где е - заряд электрона; n - концентрация носителей заряда (электронов и дырок); и
- подвижности электронов и дырок.
2. Напряжение UH на гранях образца при эффекте Холла
, (9.2)
где UH - постоянная Холла; В - индукция магнитного поля; i - плотность тока; l - ширина пластины.
3. Постоянная Холла для полупроводников типа алмаза, кремния, германия и др., обладающих носителями заряда одного вида (n или р)
, (9.3)
где n - концентрация носителей заряда.
4. Удельная проводимость собственных полупроводников
, (9.4)
где - ширина запрещенной зоны;
- константа; к - постоянная, Больцмана.
5. Зависимость концентрации носителей тока (электронов и дырок); от температуры в зоне проводимости
, (9.5)
где n0 - концентрация электронов в заполненной зоне; - энергия активации, необходимая электрону для перехода из валентной зоны в зону проводимости.
Примеры решения задач
Задача 1. Образец из германия n-типа в виде пластины длиной L = 10 см и шириной d=6 см помещен в однородное магнитное поле, (В = 0,1 Тл) перпендикулярно линиям магнитной индукции. При напряжении 250 В, приложенном к концам пластины, возникает холловская разность потенциалов UH=8,8 мВ. Определить: 1) постоянную Холла
; 2) концентрацию nn - носителей тока. Удельную проводимость
германия принять равной 80 См/м.
Решение. При помещении полупроводника в магнитное поле (рис. 9.1) носители тока (в полупроводнике n-типа это электроны), перемещающиеся под действием приложенной к нему разности потенциалов будут отклоняться в поперечном направлении. Это отклонение, вызванное силой Лоренца, приведет к "накоплению" заряда на боковых поверхностях образца, причем создаваемое в результате этого напряжение UH (холловская разность потенциалов) действием своим будет уравновешивать силу Лоренца. Холловская разность потенциалов определяется соотношением
, откуда постоянная Холла
. (1)
Плотность тока i найдем, воспользовавшись законом Ома в дифференциальной форме , где Е - напряженность поля в образце. Считая поле в образце однородным, можно написать
и тогда
, (2)
Подставив (2) в формулу (1), получим
. (3)
Убедимся в том, что правая часть равенства (3) дает единицу постоянной Холла, м3/Кл:
Произведем вачислекия:
.
2. Концентрацию n носителей тока в полупроводнике одного типа (в нашем случае n-типа) можно найти из соотношения
,
где е - элементарный заряд. Отсюда
;
Кл.
Произведем вычисления
электр./м3.
Ответ: 1) RH=7,33∙10-5м3/Кл; 2) электр./м3
Задачи для самостоятельного решения
131. Удельная проводимость кремния с примесями =112 См/м. Определить подвижность bp дырок и их концентрацию np, если постоянная Холла
. Принять, что полупроводник обладает только дырочной проводимостью.
(Ответ: bp =3.6∙10-2 м2/В с; np= 2∙1022 м3).
132. Пластина из кремния шириной l=1 см и длиной L=10 см помещена в однородное магнитное поле с индукцией В=0,2 Тл. Вектор перпендикулярен вектору плоскости пластины. К концам пластины (вдоль L) приложено напряжение U=300 В. Определить холловскую разность потенциалов на гранях пластаны, если постоянная Холла м3/КК удельное сопротивление кремния р = 0,5 Ом×м. (Ответ:
).
133. Подвижность электронов в германии n-типа bp=3,7∙103 cм2/(В. с). Определить постоянную Холла , если удельное сопротивление полупроводника р =1,6∙10-2 Ом∙м. (Ответ:
=7∙10-3 м3/Кл).
134. Концентрация носителей тока в кремнии равна n =5∙1010 см-3, подвижность электронов bn = 0,15 м2/(В. с.) и дырок bp = 0,05 м2/(В. с.). Определить сопротивление кремниевого стержня длиной L = 5 см и сечением S= 2 мм3. (Ответ: R= 1,56∙107 Ом).
135. Тонкая пластина из кремния шириной l=2 см помещена перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля (В=0,5 Тл). При плотности тока, направленного вдоль пластины l=2 мкА/мм2, холловская разность потенциалов оказалась =2,7 В. Определить концентрацию n носителей тока. (Ответ: n= 5,26∙1016 м-3).
136. Некоторый примесный полупроводник имеет решетку типа алмаза и обладает только дырочной проводимостью. Определить концентрацию np. дырок и их подвижность bp если постоянная Холла =3,8×104 м3/Кл. Удельная проводимость полупроводника
=110 См/м.
(Ответ: np=1,9∙1022 м-3; bp=3,6 10-2 м2/(В. с.)).
137. В германии часть атомов замещена атомами сурьмы. Рассматривая дополнительный электрон примесного атома по модели Бора, оценить его энергию связи и радиус орбиты. Диэлектрическая проницаемость германия =16. (Ответ: Е=0,053 эВ; r=0,85 нм).
138. Собственный полупроводник (германиевый) имеет при некоторое температуре удельное сопротивление р = 0,5 Ом∙м. Определить концентрацию n носителей тока, если подвижность электронов bn = 0,38 м2/(В. С.).
(Ответ: n=2,23∙10-19 м3).
139. Подвижность электронов и дырок в кремнии соответственно равна bn=1,5 103 см2/(В. с.) к bp= 5∙102 см2/(В. с.). Вычислить постоянную Холла для кремния, если удельное сопротивление кремни р=6,2∙102 Ом∙м.
(Ответ: =146 м3/Кл).
140. Удельное сопротивление кремния с примесями р = 10-2 Ом∙м. Определить концентрацию np дырок и их подвижность bp. Принять, что полупроводник обладает только дырочной проводимостью и постоянная Холла =4∙10-4 м3/Кл.
(Ответ: np=1,85∙1022 м-3; bp=3,4 10-2 м2/(В. с.)).
5. КОНТАКТНАЯ РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ. Р-N-ПЕРЕХОД. ДИОДЫ
Основные формулы и соотношения
1. Концентрация свободных электронов в полупроводнике n - типа
. (10.1)
р - типа
, (10.2)
в чистом полупроводнике
. (10.3)
Концентрация дырок в полупроводнике
n – типа
. (10.4)
р - типа
. (10.5)
в чистом полупроводнике
. (10.6)
В формулах (10.1) - (10.6) и далее принять следующие обозначения:
nn - концентрация свободных электронов в полупроводнике n- типа; nd - концентрация ионов донорной примеси; np - концентрация свободных электронов в полупроводнике р-типа, na - концентрация ионов акцепторной примеси; n1- концентрация свободных электронов в чистом полупроводнике; рn - концентрация дырок в полупроводнике n–типа; рp - концентрация дырок в полупроводнике р-типа, р1 - концентрация дырок в чистом полупроводнике; mn - эффективная масса свободного электрона; mp-эффективная масса дырки; Т – абсолютная температура; h=6,67∙1034 Дж с - постоянная Планка; - ширина запрещенной зоны; К=1,38∙1023 Дж/К - постоянная Больцмана.
2. Контактная разность потенциалов в полупроводниковом диоде
, (10.7)
где е=1,6∙10-19 Кл - элементарный электрический заряд.
3. Сила тока I через плоскостной полупроводниковый диод в прямом (U>0) и обратном (U<0) направлениях при напряжении U, приложенном к р-п-переход.
, (10.8)
где ток насыщения
, (10.9)
где А - постоянный для данного диода коэффициент.
Дифференциальное сопротивление р-п-перехода диода
. (10.10)
Электрическая емкость закрытого плоскостного диода
, (10.11)
где =8,85∙10-12 Ф/м - электрическая постоянная;
- диэлектрическая проницаемость полупроводника; S - площадь р-п-перехода, Uз -запирающее напряжение, приложенное к диоду (см. табл. 10.1).
Таблица 10.1 Некоторые постоянные полупроводниковых материалов
Свойства |
Полупроводниковый материал |
||
Ga |
Sl1 |
GaAs |
|
Ширина запрещенной зоны, эв |
0,72 |
1,12 |
1,35 |
Эффективная масса электрона,m0 |
0,12 |
0,26 |
0,072 |
Эффективная масса дырки, m0 |
0,2 |
0,39 |
0,5 |
Диэлектрическая проницаемость |
16 |
12 |
11 |
Примечание m0 =9,11∙10-31 кг - масса электрона.
Примеры решения задач
Задача. 1. Какова должна быть концентрация ионов донорной примеси арсенида галлия при температуре 27° С чтобы концентрация основных носителей в 104 раз превышала концентрацию не основных носителей?
Решение. Полупроводник с донорной примесью есть полупроводник типа. Основными носителями являются свободные электроны с концентрацией nn, а не основными - дырки с концентрацией рn. На основании формулы (10.1) , а на основании формулы (10.4)
.
Тогда
,
откуда
.
Подставим данные
.
.
Проверка размерности
.
Ответ: м-3.
Задача 2. На сколько изменится контактная разность потенциалов кремниевого диода при нагревании его от 0°С до 300° С? Концентрация примесей р - и n - областей nd = na = 1∙1015 м-3.
Решение. На основании формулы (10.7) контактная разность потенциалов
.
Концентрация свободных, электронов в n - области по формуле (10.1) , где
- концентрация доноров.
Концентрация свободных электронов в. р - области по формуле (10.9)
Тогда
Подставим табличные данные, физические константы и условия задачи в формулу
Проверка размерности
.
Ответ: В.
Задача 3. Определить ток насыщения полупроводникового плоскостного диода, если при температуре 300 К и напряжении 0.2 В прямой ток диода составляет 10 0м.
Решение. Используем формулу (10.8)
,
где К -постоянная Больцмана, е0 - элементарный заряд, откуда
.
Подставим данные условия и константы
.
Ответ: .
Задача 4. Во сколько раз возрастет дифференциальное сопротивление плоскостного полупроводникового диода, если его прямое включение изменено на обратное. Приложенное напряжение составляет 0,1 В. температура 290 К.
Решение. На основании формулы
,
где К - постоянная Больцмана; е0 - - элементарный заряд, определяем
.
При прямом включении U > 0. При обратном включении U < 0.
.
Подставим значения
.
Ответ: .
Задача 5. Определить контактную разность потенциалов р-п перехода, если после подачи запирающего напряжения 10 В электрическая емкость диода уменьшилась в 3 раза.
Решение. На основании формулы емкости закрытого плоскостного диода
.
Тогда отношение емкости при Uз=0 к емкости при Uз 0
, откуда
и
.
Подставим данные .
Проверим размерности
Ответ: .
Задачи для самостоятельного решения
141. Какую часть от всех носителей составляют неосновные носители германия n-типа при температуре 77°С и концентрации ионов примеси 5∙1020 м-3?
(Ответ: ).
142. Во сколько раз число свободных электронов в кремнии р-типа меньше числа дырок при температуре 400 К и концентрации ионов акцепторной примеси 1,2∙1021 м-3?
(Ответ: ).
143. Найти число неосновных носителей тока в кристалле арсенида галлия объемом 1 мм3 при температуре 0°С при концентрации ионов акцепторной примеси 2∙1014 м-3.
(Ответ: N =2,04)
144. Во сколько раз увеличится концентрация неосновных носителей при увеличения температуры кристалла легированного арсенида галлия от 0°С до 150 °С?
(Ответ: ).
145. В германий ввели донорную примесь с концентрацией 1∙1020 м-3. Во сколько раз уменьшилось при этом число дырок? Температура кристалла 20°С.
(Ответ: ).
146. В кремний ввели акцепторную примесь с концентрацией 5×1015 м-3. Во сколько раз уменьшится число свободных электронов, если температура кристалла 27°С?
(Ответ: ).
147. Найти отношение концентраций дырок в р - и n-областях арсенидгаллиевого диода при температуре 350 К. Концентрации ионов донорной и акцепторной примесей одинаковы и составляют 1∙1018 м-3.
(Ответ: ).
148. Решить задачу 147 для германиевого диода при температуре 273К.
(Ответ: ).
149. Решить задачу 147 для кремниевого диода.
(Ответ: ).
150. Найти отношение концентраций свободных электронов в р - и n - областях германиевого диода при температуре 300 К. Концентрации ионов донорной и акцепторной примесей одинаковы и равны 2∙1020 .
(Ответ: ).
6. ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ (КЛАССИЧЕСКОЙ И КВАНТОВОЙ). ЭЛЕКТРОНЫ В МЕТАЛЛЕ. МАГНИТНЫЙ РЕЗОНАНС. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ. ЭФФЕКТ ДЖОЗЕФСОНА.
Основные формулы и соотношения
1. Распределение частиц в силовом поле (распределение Больцмана)
, (11.1)
где U - потенциальная энергия частиц; n - концентрация частиц; n0- концентрация частиц при U=0; К - постоянная Больцмана; Т - температура; е - основание натуральных логарифмов.
2. Распределение молекул по скоростям (распределение Максвелла) определяется двумя выражениями:
а) число молекул, скорости которых заключены в пределах от V до V+dV,
, (11.2)
где f(V) - функция распределения молекул по модулям скоростей; N - общее число молекул: m - масса молекулы;
б) число молекул, относительные скорости которых заключены в пределах от U до U + dU,
, (11.3)
где - относительная скорость, равная отношению скорости V к наиболее вероятной VВ; f(U)- функция распределения по относительным скоростям.
3. Распределение молекул по импульсам
, (11.4)
где f(p)-функция распределения по импульсам.
4. Распределение молекул по энергиям. Число молекул, энергии которых заключены в интервале от до
, (11.5)
где f() - функция распределения по энергиям.
5. Среднее значение физической величины Z в общем случае
, (11.6)
где f(х) - функция распределения, а интегрирование ведется по всей совокупности изменения величины Z. Если f(х) нормирована на единицу, то .
Например, средняя арифметическая скорость молекул газа
,
средняя квадратичная скорость
, где
средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы
.
6. Распределение Ферми по энергиям для свободных электронов в металле при Т = 0
, (11.7)
при и T=0
, (11.8)
где - концентрация электронов, энергия которых заключена в интервале от
до
; m и
- масса и энергия электрона;
- уровень (или энергия) Ферми.
7. Уровень Ферми в металле при Т= 0
. (11.9)
8. Если в объеме V металла имеется N электронов, то . Величина вектора. Kf (волновой вектор Ферми) связана с n соотношением
. (11.10)
Сферу с радиусом Кf, содержащую одноэлектронные уровни, называют сферой Ферми. Поверхность сферы Ферми, отделяющую заполненные уровни от незаполненных, называют поверхностью Ферми.
9. Энергия Ферми обычно выражается через волновой вектору Ферми таким образом
. (11.11)
10. Скорость электрона на поверхности Ферми определяется выражением.
. (11.12)
11. Температура Ферми Тf в теории свободных электронов находится таким образом:
, (11.13)
где К - постоянная Больцмана; - энергия Ферми.
12. Температура Ткр выражается формулой
, (11.14)
где К - постоянная Больцмана: n - число электронов в единице объема; m - масса электрона.
13. Удельная электропроводность металлов определяется по классической теории Зоммерфельда
, (11.15)
где р - удельное сопротивление; n - число электронов в единице объема; е - заряд электрона; m - масса электрона; - время релаксации.
14. Магнитный момент ядра
, (11.16)
где g - ядерный фактор Ланде (g-фактор); - ядерный магнетон (
);
- масса протона; I - спиновое квантовое число ядра (спин ядра).
15. Связь магнитного момента ядра с моментом импульса LI ядра
, (11.17)
где - гиромагнитное отношение (
) и
.
16. Проекция магнитного момента ядра на направление вектора магнитной индукции внешнего поля
, (11.18)
где mI =0,1,2.....I спиновое магнитное квантовое число ядра.
17. Резонансное поглощение СВЧ-энергии в магнитном поле происходит при условии
, (11.19)
где В0 - магнитная индукция внешнего постоянного магнитного поля.
18. Отношение населенностей энергетических уровней (в отсутствии высокочастотного поля)
, (11.20)
где N1 - заселенность энергетического уровня Е1: N2 - заселенность энергетического уровня Е2; Е2 > E1
19. По теории Бардина - Купера - Шриффера (БКШ)
, (11.21)
где Нс(0) - критическое магнитное поле при Т = 0; Нс(Т) - критическое магнитное поле при температуре Т < Тс; Тс - температура сверхпроводящего перехода.
20. По теории БКШ вблизи критической температуры (в нулевом поле) энергетическая щель изменяется в соответствии с универсальным законом
. (11.22)
21. Связь величины энергетической щели и критической температуры имеет вид
. (11.23)
22. Магнитный поток Ф, связанный со сверхпроводящим кольцом (или цилиндром), по которому течет ток, является кратным величине
, где
- заряд куперовской пары.
Таким образом,
. (11.24)
Величина Фо носит название квант магнитного потока или флюксон.
23. Туннельный ток через переход Джозефсона (стационарный эффект) определяется соотношением
, (11.25)
где Ф - магнитный поток; - квант магнитного потока; I0 не зависит от магнитного поля, а зависит от температуры и структуры контакта.
24. Если к контакту Джозефсона приложить постоянное электрические напряжение U, то величина сверхпроводящего тока будет осуществляться с частотой (нестационарный эффект Джозефсона)
. (11.26)
Примеры решения задач
Задача 1. Образец металла объемом V=20 см3 находится при температуре Т = 0. Определить число свободных электронов, импульсы которых отличаются от максимального рmах не более, чем на 0,1 рmax. Энергия Ферми
=5 эВ.
Решение. Для того, чтобы установить распределение свободных электронов по импульсам, необходимо воспользоваться распределением Ферми по энергиям при Т = 0 (11.8)
.
По физическому смыслу задачи
. (11.27)
Данной энергии соответствует определенный импульс р (
) и интервалу импульсов dр соответствует определенный интервал энергии
, т. е. . Так как
, то, подставив в правую часть равенства (11.27) вместо
выражение (11.8) с заменой
на р и
на dр в соответствии с полученными соотношениями, имеем
.
После сокращений получим искомое распределение свободных электронов в металле по импульсу при Т = 0
. (11.28)
Число электронов в единице объема, импульсы которых заключены в интервале от 0,9рmах до рmах, найдем, проинтегрировав выражение (11.28)
.
или
. (11.29)
Так так максимальный импульс рmах и максимальная энергия электронов в металле (при Т = 0) связаны соотношением
, некоторое искомое число
свободных электронов в металле будет
. (11.30)
Подставив в (11.30) числовые значения величин, получим
=2,9∙1023 электронов.
Ответ: =2,9∙1023 электронов.
Задача 2. Образец из вещества, содержащего ядра (протоны), находится в однородном внешнем магнитном поле (В=1 Тл). Определить:
1) относительную разность заселенностей энергетических уровней при температуре Т = 300 К;
2) частоту , при которой будет происходить ядерный магнитный резонанс. Экранирующим действием электронных оболочек и соседних ядер пренебречь.
Решение. В магнитном поле ядра приобретают дополнительную энергию, даваемую равенством
, (11.31)
где - проекция магнитного момента ядра на направление вектора В (ось Z). Проекция магнитного момента ядра выражается формулой (11.18)
.
Подставив (11.18) в (11.31), получим
. (11.32)
Спиновое магнитное квантовое число протона может принимать только два значения:
.
Значение соответствует нижнему энергетическому уровню
. (11.33)
Значение соответствует верхнему энергетическому уровню (рис. 11.1.)
. (11.34)
В отсутствии магнитного поля число ядер с противоположно направленными спинами одинаково и равно N/2 (N - общее число ядер). В магнитном поле происходит перераспределение ядер по энергетическим уровням. Число ядер N1 и N2 вычисляется, исходя из статистики Больцмана.
.
Так как (это будет показано ниже), то можно воспользоваться приближенными равенствами
если х<1.
Тогда
, (11.35)
. (11.36)
Разность населенности энергетических уровней найдем, вычитая из (11.35) равенство (11.36)
. (11.37)
Разделив на N, получим относительную разность заселенностей энергетических уровней
. (11.38)
Выразим все величины в единицах СИ: (для протона);
А∙м2; В =1 Тл; К = 1,38∙10 -23 Дж/К; Т = 300 К.
Подставив эти значения в формулу (11.38) получим
.
Полученный результат оправдывает наше допущение, что . Под действием электромагнитного излучения, угловая частота которого
. (11.39)
будут происходить переходы между уровнями Е1 и Е2, причем излучение вызывает переходы и
, с равной вероятностью при условии одинаковой заселенности энергетических уровней. Так как нижний уровень имеет большую заселенность, чем верхний, то переходы с поглощением; электромагнитного излучения (
) будут происходить чаще, чем с излучением (
). Это и есть резонансное поглощение электромагнитного излучения, обусловленное ядерным магнетизмом (ЯМР).
Подставив в (11.39) выражение для анергий Е1 и Е2 согласно (11.33) и (11.34), и, учтя, что , найдем резонансную частоту для внешнего магнитного поля В:
, (11.40)
вставив числовые величины в (11.40). Получим МГц.
Ответ: МГц.
Задачи для самостоятельного решения
161. Определить концентрацию n свободных электронов в при температуре Т = 0 К. Энергию Ферми принять равной
эВ.
(Ответ: n = 5,6∙1025).
162. Определить отношение концентраций свободных электронов при Т = 0 К в литии и цезии, если известно, что уровни Ферми в этих металлах соответственно равны
эВ;
эВ.
(Ответ: ).
163. Определить число свободных электронов, которое приходится на один атом натрия при температуре Т =0 К. Уровень Ферми для натрия равен 3,12 эВ. Плотность р натрия равна 970 лГ/м3.
(Ответ: n = 0,9).
164. Определить вероятность того что электрон в металле займет энергетическое состояние, находящееся в интервале эВ ниже уровня Ферми и выше уровня Ферми для двух температур:
1)Т!=290 К; 2) Т2=56 К.
(Ответ: 1) W1=0,893 и W2 =0,119; 2) W1=0,999955 и W2 =4,5∙10-5).
165. Вычислить среднюю кинетическую энергию электронов в металле при температуре Т= 0 К, если уровень Ферми
=7 эВ.
(Ответ: эВ).
166. Электроны в металле находятся при температуре Т=0 К. Найти относительное число свободных электронов, кинетическая энергии которых отличается от энергии Ферми не более, чем на 2%.
(0твет: =0,03).
167. По функции распределения электронов в металле по импульсам установить распределение
по скоростям:
1) при любой температуре Т; 2) при Т=0 К.
(Ответ:
1) при T
0;
2) при Т=0).
168. Определить максимальную скорость Vmах электронов в металле при Т=0 К, если уровень Ферми =5 эВ.
(Ответ: =1,32∙106 м/с).
169. Используя таблицу Менделеева (приложение 4) вычислить время релаксации для меди, алюминия и железа при Т = 273 К.
(Ответ: с;
с;
с).
170. Используя таблицу Менделеева (приложение 4), вычислить волновой вектор Ферми КF, скорость Ферми VF и температуру Ферми ТF для Au, Сu, Fе, Аl, Sn, Ве.
(Ответ; КFAu=1,21∙1010 м-1; КFSn=1,64∙1010 м-1; TFAu =6,42∙104 К; TFSn=11,8∙104 К; VFAu = 1,4∙105 м/с; VFSn = 1,90∙106 м/с).
Приложение 1 Основные физические константы
Скорость света в вакууме |
с = 2,998·108 м/с |
Гравитационная постоянная |
γ = 6,67·10-11 м3/кг·с2 |
Ускорение свободного падения |
g = 9,807 м/с2 |
Число Авогадро |
Na = 6,023·1023 моль-1 |
Число Лошмидта |
n0 = 2,69·1025 м-3 |
Универсальная газовая постоянная |
R = 8,314 Дж/К·моль |
Постоянная Больцмана |
K = 1,38·10-23 Дж/К |
Заряд электрона |
е = 1,602·10-19 Кл |
Масса электрона |
me = 0,911·10-30 кг |
Удельный заряд электрона |
e/me = 1,76·1011 Кл/кг |
Масса протона |
mp = 1,672·10-27 кг |
Удельный заряд протона |
e/mp = 0,959·108 Кл/кг |
Постоянная Стефана – Больцмана |
δ = 5,67·10-8 Вт/м2·К4 |
Постоянная закона смещения Вина |
b = 0,29 см·К |
Постоянная Планка |
h = 1,054·10-34 Дж·с h = 0,659·10-15 эВ·с h = 6,53·10-34 Дж·с |
Постоянная Ридберга |
R = 3,29·1015 с-1 R = 1,097·107 м-1 |
Первый боровский радиус |
r1 = a0 = 0,529·10-10 м |
Энергия связи электрона в атоме водорода |
E1 = 13,56 эВ |
Комптоновская длина волны электрона |
λс = 3,86·10-13 м |
Классический радиус электрона |
re = 2,82·10-15 м |
Магнетон Бора |
µB = 9,27·10-24 Дж/Тл |
Атомная единица массы |
1 а.е.м. = 1,66·10-27 кг |
Ядерный магнетон |
µN = 5,05·10-27 Дж/Тл |
Магнитный момент протона |
µP = 2,79 µN |
Магнитный момент нейтрона |
µn = -1,913 µN |
Электрическая постоянная |
ε0 = 0,885·10-11 Ф/м |
Магнитная постоянная |
µ0 = 1,257·10-6 Гн/м |
Приложение 2 Периоды полураспада радиоизотопов
Z |
Изотоп |
Тип распада |
Период распада |
11 |
Натрий Na22 |
γ |
2,6 года |
12 |
Магний Mg27 |
β- |
10 минут |
15 |
Фосфор P32 |
β- |
14,3 суток |
27 |
Кобальт Co60 |
β |
5,2 года |
38 |
Стронций Sr90 |
β |
28 лет |
53 |
Йод I131 |
β-, γ |
8 суток |
77 |
Иридий Ir192 |
β-, γ |
75 суток |
84 |
Полоний Po210 |
α |
138 суток |
86 |
Радон Rn222 |
α |
3,8 суток |
88 |
Радий Ra226 |
α |
1620 лет |
89 |
Актиний Ac225 |
α |
10 суток |
90 |
Торий Th229 |
α, γ |
7·103 лет |
92 |
Уран U238 |
α |
4,5·109 лет |
Приложение 3
Таблица 1 Край К – полосы поглощения рентгеновского излучения
Z |
Элемент |
λК, пм |
Z |
Элемент |
λК, пм |
23 |
V |
226,8 |
47 |
Ag |
48,6 |
24 |
Cr |
207,0 |
50 |
Sn |
42,39 |
25 |
Mn |
189,6 |
74 |
W |
17,85 |
26 |
Fe |
174,3 |
78 |
Pt |
15,85 |
27 |
Co |
160,4 |
79 |
Au |
15,35 |
28 |
Ni |
148,6 |
82 |
Pb |
14,05 |
29 |
Cu |
138,0 |
92 |
U |
10,75 |
30 |
Zn |
128,4 |
|||
42 |
Mo |
61,9 |
Таблица 2 Массовые коэффициенты ослабления (рентгеновское и γ – излучение, узкий пучок)
λ, пм |
Массовый коэффициент ослабления µ/ρ, см2/г |
||||
Воздух |
Вода |
Алюминий |
Медь |
Свинец |
|
10 |
0,16 |
0,16 |
0,36 |
3,8 |
|
20 |
0,16 |
0,28 |
1,5 |
4,9 |
|
30 |
1,29 |
0,47 |
4,3 |
14 |
|
40 |
0,44 |
1,1 |
9,8 |
31 |
|
50 |
0,48 |
0,66 |
2,0 |
19 |
54 |
60 |
0,75 |
1,0 |
3,4 |
32 |
90 |
70 |
1,3 |
1,5 |
5,1 |
48 |
139 |
80 |
1,6 |
2,1 |
7,4 |
70 |
|
90 |
2,1 |
2,8 |
11 |
98 |
|
100 |
2,6 |
3,8 |
15 |
131 |
|
150 |
8,7 |
12 |
46 |
49 |
|
200 |
21 |
28 |
102 |
108 |
|
250 |
39 |
51 |
194 |
198 |