Сборник задач по физике твёрдого тела. Элементы физики атома и квантовой механики.

1. АТОМ ВОДОРОДА ПО БОРУ

1. Момент импульса электрона на стационарных орбитах

, (1.1)

где mе - масса электрона; rn - радиус стационарной орбиты; Vn - скорость электрона на этой орбите; h - постоянная Планка.

2. Полная энергия электрона, находящегося на n-ой орбите

, (1.2)

где ε0- диэлектрическая постоянная.

3. Обобщенная формула Бальмера

, (1.3)

, (1.4)

где R' и R=cR' - постоянная Ридберга; n1, и n2 - целые числа: n1, - номер серии спектральных линий (n1=1 - серия Лаймана. n1=2 - серия Бальмера. n1=3 - серия Пашена и т. д.); n2=n1+m (m - номер спектральной линии в данной серии).

4. Энергия фотона, испущенного атомом водорода и водородоподобных ионов при переходе из одного стационарного состояния в другое

. (1.5)

2. АТОМ ВОДОРОДА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

1. В атоме водорода (водородоподобный ион) потенциальная энергия U(r) имеет вид

, (2.1)

где z - зарядовое число; е - заряд электрона; ε0 - электрическая постоянная; г - расстояние от ядра.

2. Собственные значения полной энергии электрона в атоме водорода

, (2.2)

где n - главное квантовое число (n=1,2,3,...); - постоянная Планка.

3. Вероятность dω того, что электрон находится в области, ограниченной элементом объема dV, взятого в окрестности точки с координатами (r, θ,φ)

, (2.3)

где n, l, m - квантовые числа: главное, орбитальное, магнитное;

– волновая функция электрона: – элементарный объём (в сферических координатах).

4. В S - состоянии волновая функция не зависит от т. е. является сферически симметричной и имеет вид:

- в 1S - состоянии (основном) ; (2.4)

- в 2S - состоянии , (2.5)

где - боровский радиус.

5. Орбитальный момент импульса электрона в атоме водорода

, (2.6)

где l – орбитальное квантовое число (l=0,1,2,3,…,(n-1)).

6. Орбитальный магнитный момент электрона

, (2.7)

где µB - магнетон Бора.

7. Спин (собственный момент импульса электрона)

, (2.8)

где S - спиновое квантовое число. S = 1/2.

8. Спиновый магнитный момент электрона

. (2.9)

9. Проекция орбитального момента импульса и магнитного момента на направление внешнего магнитного поля Z

, (2.10)

, (2.11)

где m - магнитное квантовое число (m=0, ±1, ±2,...±1).

10. Проекция спина и спинового магнитного момента на направление внешнего магнитного поля Z

, (2.12)

, (2.13)

где (ms - спиновое магнитное квантовое число ms = ± 1/2).

11. Состояния электрона в атоме водорода:

квантовое число 1=0 1 2 3 4 5... ;

условное обозначение s р d f g h... .

12. Сила, действующая на контур с током в магнитном поле

, (2.14)

где - изменение индукции вдоль оси Z;

α - угол между векторами µ и В.

3. ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА МИКРОЧАСТИЦ. СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

1. Длина волны де Бройля

, (6.1)

где p - импульс частицы; = 6,62·10-34 Дж·с - постоянная Планка. Импульс частицы и его связь с кинетической энергией для двух случаев:

а) ; (6.2)

б) ; , если , (6.3)

где V - скорость движения частицы; С - скорость света; m0 - масса покоя частицы; – энергия покоя частицы.

2. Соотношения неопределенностей для координат и импульсов

, (6.4)

где ΔPx - неопределенность проекции импульса частицы на ось х; Δx неопределенность ее координаты; Дж·с.

3. Соотношение неопределенностей для энергии

, (6.5)

где ΔЕ - неопределенность энергии; Δt - время пребывания квантовой системы в данном энергетическом состоянии.

4. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ

1. Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний

, (7.1)

где ψ(х) - волновая функция, описывающая состояние частицы; m - масса частицы; Е - полная энергия частицы; U = U(х) - потенциальная энергия частицы; = 1,5·10-34 Дж·с.

2. Одномерное уравнение Шредингера для потенциальной ямы

, (7.2)

где ψ(х) - волновая функция, описывающая состояние частицы, находящейся в бесконечно глубоком одномерном потенциальном ящике для области II(см. рис.7.1)

3. Решение уравнения Шредингера (7.2)

, (7.3)

где ψn(х) - собственные волновые функции частицы; n - квантовое число (n = 1,2,3,...); l - ширина ящика.

4. Собственное значение полной энергии частицы, находящейся на nM энергетической уровне в потенциальном ящике

. (7.4)

5. Плотность вероятности

, (7.5)

где dψ(х) - вероятность того, что частица может быть обнаружена вблизи точки с координатой х на участке dх.

6. Вероятность обнаружения частицы в интервале от x1 до х2

. (7.6)

7. Условие нормировки собственной функции

. (7.7)

8. Связь волнового вектора с полной энергией

. (7.8)

5. ЛИНЕЙНЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР. ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦЫ ЧЕРЕЗ БАРЬЕР. ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ

1. Коэффициент преломления волн де Бройля на границе низкого потенциального барьера бесконечной ширины

, (8.1)

где λ1, λ2 - длина волны де Бройля перед барьером и в области барьера; k1,k2 - волновые числа.

2. Коэффициент отражения ρ и пропускания волн де Бройля через низкий потенциальный барьер (U < Е) бесконечной ширины

; (8.2)

. (8.3)

3. Коэффициент прозрачности барьера конечной ширины (вероятность прохождения частицы через барьер)

. (8.4)

В случае прямоугольного барьера конечной ширины d

. (8.5)

4. Потенциальная энергия гармонического осциллятора

, (8.6)

где β - коэффициент квазиупругой силы.

5. Приведенная масса

. (8.7)

6. Собственная частота гармонического осциллятора

. (8.8)

7. Энергия колебаний гармонического квантового осциллятора

, (8.9)

где n = 0,1,2,3...

ЗАДАЧИ

1. РЕНТГЕНОВСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЕГО СПЕКТРЫ

Основные формулы и соотношения

1. Коротковолновая граница λmin рентгеновского спектра определяется выражением.

, (3.1)

где е - заряд электрона; U - разность потенциалов, приложенная к трубке.

2. Закон Мозли. Длина волны характеристического рентгеновского излучения может быть определена по формуле

, (3.2)

где Z, - порядковый номер элемента в таблице Менделеева; b - постоянная экранирования. Для К - серии b=1; n1=1; n2=2,3,4, R - постоянная Ридберга.

Закон Мозли в этом случае будет иметь вид (для Кα-серии)

. (3.3)

3. Энергия фотона, соответствующего К - линии характеристического излучения, выражается формулой

, (3.4)

где Е1=13,55 эВ.

4. Максимум интенсивности непрерывного рентгеновского спектра определяется формулой

. (3.5)

Примеры решения задач

Задача 1. Определить энергию и длину волны К - линии характеристического рентгеновского спектра, излучаемого вольфрамом при бомбардировке его быстрыми электронами.

Решение. Быстрые электроны, проникая внутрь электронной оболочки атома, выбивают электроны, принадлежащие внутренним электронным слоям. Ближайший к ядру электронный слой (К-слой) содержит два электрона, если один из этих электронов оказывается выбитым за пределы атома, то при переходе электрона из вышележащих слоев (L, М,N...) на К-слой возникает соответствующая линия К-серии (рис. 3.1).

При переходе электрона с L-слоя на К-слой излучается наиболее интенсивнее К - линия характеристического рентгеновского спектра. Электрон L-слоя находится в поле ядра с зарядом Zе, которое ослаблено одним электроном, оставшимся в К-слое. Таким образом, заряд Z1 (эффективный заряд), определяющий электрическое поле, в котором находится электрон, переходящий с L,-слоя на К-слой, меньше заряда ядра на величину заряда одного электрона

. (1)

Внешние электронные слои можно рассматривать как сферически симметричные и тогда электрическое поле внутри этих слоев отсутствует. Поэтому для L-К-перехода можно использовать сериальную формулу выведенную для атома водорода;

 

 

Если заменить в ней заряд Z1, используя формулу (1), получим Формулу

. (2)

Подставив в (2) выражение λK через энергий фотона

, (3)

и решив полученное уравнение относительно εKα, найдем

. (4)

Но hcR есть энергия ионизации атома водорода (E1=13,6 эВ), следовательно

. (5)

Подставив в (5) значение зарядового числа Z (для вольфрама Z=74) и величину энергии ионизации атома водорода, и, произведя вычисления, получим:

.

Длину волны рентгеновского излучения можно определить по формуле (2) или (3). Воспользуемся последней формулой, подставив числовые значения величин, получим

.

Ответ.

Задачи с ответами для самостоятельного решения

101. Вычислить частоту и длину волны Кα - линии Мо, а также энергию кванта, соответствующего этой линии.

(Ответ: ν=4,16∙1018 Гц; λ=0,72А; E=hν=17,1∙103 эВ).

102. Найти приближенно минимальное напряжение U на рентгеновской трубке, при котором начинают появляться линии серии Кα Мо.

(Ответ: U=23 кВ).

103. То же, что и в предыдущей задаче, но для меди.

(Ответ: U=10 кВ).

104. Найти приближенно минимальное напряжение на рентгеновской трубке, при котором начинают появляться линии серии Кα железа.

(Ответ: U=8,5 кВ).

105. Найти минимальное напряжение на рентгеновской трубке, при котором начинают появляться линии серии Кα хрома.

(Ответ: U=6.0 кВ).

106. Может ли Кα -излучение Fе вызвать вторичное γ-излучение хрома и кобальта?

(Ответ: Cr - может, а Со – нет, так как εK(Fe)=6,35 кэВ, εК(Со)=6,87 кэВ, εК(Cr)=5,38 кэВ).

107. Какие линии никеля возбуждаются Кα - излучением кобальта?

(Ответ: Возбуждаются все линии всех серий, кроме К-серии).

108. Найти границу К-полосы поглощения молибдена.

(Ответ: λМо = 0,62 А).

109. Найти границу К-полосы поглощения меди и железа.

(Ответ: λFe=1,7 A; λCu=1,4 A).

110. Известно, что длина волны Кα - линии одного элемента равна 0,788 А, а другого 0,713 А. Выяснить, стоят ли эти элементы рядом таблице Менделеева. Какие это элементы?

(Ответ: Не стоят рядом, N40, N42).

2. ЭЛЕМЕНТЫ КРИСТАЛЛОГРАФИИ И ДИФРАКЦИИ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ

Основные формулы и соотношения

1. Молярный объем кристалла

, (4.1)

где µ - молярная масса вещества; ρ - плотность кристалла. Объем V элементарной ячейки в кристаллах:

а) при кубической сингонии V=a3, где а - параметр элементарной ячейки;

б) при гексагональной сингонии , где а, с - параметры решетки.

Если для гексагональной решетки принять теоретическое значение

.

2. Число элементарных ячеек в одном моле кристалла

или , (4.2)

где k - число одинаковых атомов в химической формуле соединена (например, в кристалле NaCl k=1); Nа - постоянная Авогадро; n – число атомов, приходящихся на элементарную ячейку.

На рис. 4.1 изображена структура NаСl. Аналогичную структуру имен соединения АgВr, КВr, МnO и другие.

3. Число z элементарных ячеек в единице объема кристалла или в общем случае

,

причем для кристалла, состоящего из одинаковых атомов (k=1)

. (4.3)

4. Параметр а кубической решетки

. (4.4)

Расстояние d между соседними атомами в кубической решетке:

а) в гранецентрированной ;

б) в объемно-центрированной .

5. Для обозначения узлов, направлений плоскостей в решетке вводятся специальные индексы. Индексы узлов записывают в двойных квадратных скобках [[mnp]]. Для отрицательных индексов над буквой ставится знак минус, например (рис. 4.2).

6. Индексы направлений записываются в одинарных квадратных скобках [mnp]. Индекс направления совпадает с индексом узла, через который проходят прямая, если эта прямая одновременно проходит и через начало координат [[000]] рис. 4.2. Индексы направления задают не одну прямую в кристалле, а семейство параллельных прямых. Изменение всех индексов на обратные по знаку [mnp] означает то же самое направление в кристалле.

7. Период идентичности вдоль прямой задается индексами [mnp] в кубической решетке и выражается соотношением

, (4.5)

где а - параметр элементарной ячейки.

8. Угол φ между прямыми [m1n1p1] и [m2n2p2] в кубической решетке выражается формулой

. (4.6)

9. Индексы плоскости (индексы Миллера) записывают в круглых скобках и стандартно обозначают (hkl). Изменение всех индексов на обратные () отвечает тому же семейству плоскостей.

Для нахождения отрезков следует взять обратные величины индексов Миллера (1/h, 1/k. 1/l) и привести их к наименьшему целому, кратному каждому из полученных чисел. Полученные значения и есть наименьшие отрезки, отсекаемые плоскостью (hkl) на осях координат.

Если известны отрезки, отсекаемые на осях координат, то индексы Миллера пропорциональны направляющим косинусам вектора нормали к данной плоскости. Поэтому индексы Миллера для некоторого семейства плоскостей совпадают с индексами направлений нормали к этим плоскостям.

10. Угол между плоскостями (h1k1l1) и (h2k2l2) определяется из формулы

, (4.7)

а между прямой [mnp] и плоскостью (hkl) - из формулы

. (4.8)

11. Формула Вульфа-Брэгга

, (4.9)

где d - межплоскостное расстояние в кристалле; θ - угол скольжения (угол между направлением пучка параллельных лучей, падающих на кристалл, и гранью кристалла), определяющий направление, в котором имеет место зеркальное отражение лучей (дифракционный максимум); m - порядок отражения (для поликристаллов m=1); λ - длина волны рентгеновского излучения.

12. Межплоскостное расстояние d(hkl), индексы Миллера и период решетки кубического кристалла связаны между собой соотношением

. (4.10)

Подставляя это равенство в формулу Вульфа-Брэгга, получим

. (4.11)

13. Для простой кубической решетки

Σ=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,....

Для объемно-центрированной (ОЦК) наблюдаются отражения только от тех плоскостей, для которых сумма индексов четная, то есть

Σ=2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,...;

для гранецентрированной кубической решетки наблюдается отражения от тех плоскостей, для которых все три индекса Миллера четные или все три нечетные, то есть

Σ=3,4,8,11,12,16,19,...;

Примеры решения задач с ответами

Задача 1. Параллельный пучок рентгеновского излучения падает на грань кристалла. Под углом θ=65° к плоскости грани наблюдается максимум первого порядка. Расстояние d между атомными плоскостями кристалла 280 пм. Определить длину волны λ рентгеновского излучения.

Решение. для решения задачи необходимо воспользоваться формулой Вульфа-Брэгга 2dsinθ=mλ.

Так как m=1, то, подставив в эту формулу числовые величины, получим

λ = 2·280·sin65=560·sin65 = 506 пм.

Ответ: λ = 506 пм.

Задача 2. Определить число узлов, приходящихся на одну элементарную ячейку в гранецентрированной кубической решетке.

Решение. Выделим элементарную ячейку в кубической решетке (рис. 4,3) и определим, скольким соседним элементарным ячейкам принадлежит тот или иной узел выделенной ячейки. В этой ячейке имеются узлы двух типов: А (находящиеся в вершинах куба) и В (находящиеся на гранях куба в точке пересечения диагоналей).

Узел А принадлежит одновременно восьми элементарным ячейкам. Следовательно, в данную ячейку узел А входит с долей 1/8. Узел В входит одновременно только в две ячейки и, следовательно, в данную ячейку узел В входит с долей 1/2. Если учесть, что число узлов типа А в ячейке равно восьми, а число узлов типа В равно шести, т. е. числу граней, то общее число узлов, приходящихся на одну элементарную ячейку в гранецентрированной решетке

n = (1/8)∙8+(1/2)∙6=1+3=4 узла.

Так как число узлов равно числу атомов, то в соответствующей структуре на элементарную ячейку приходится четыре атома.

Задача 3. Определить параметр, а решетки и расстояние d между ближайшими соседними атомами кальция (решетка, гранецентрированная кубической сингонии). Плотность ρ кристалла кальция равна 1,55∙103 кг/м3;

Решение. Параметр кубической решетки, а связан с объемом элементарной ячейки соотношением V=а3. С другой стороны, объем элементарной ячейки равен отношению молярного объема к числу элементарных ячеек в одном моле кристалла: V=Vm/zm.

Приравняв правые части приведенных выражений для V, найдем

. (1)

Молярный объем кальция Vm=µ/ρ, где ρ - плотность кальция; µ – молярная масса.

Число элементарных ячеек в одном моле zm=Na/n, где n - число атомов, приходящихся на одну ячейку. Подставив в формулу (1) приведенные выражения для Vm и zm, получим а3 = nµ/ρNa.

Подставив в последнюю Формулу числовые значения n=4 и µ, ρ и Na, получим, а=556 пм.

Расстояние d между ближайшими соседними атомами находится из простых геометрических соображений: .

Подставив в эту формулу величину а, получим d=393 пм.

Ответ: d=393 пм.

Задачи для самостоятельного решения

111. Сколько атомов приходится на одну элементарную ячейку объемно центрированной решетки кубической сингонии? Изобразить на рисунке.

(Ответ: 2 атома).

112.Сколько атомов приходится на одну элементарную ячейку гранецентрированной решетки кубической сингонии. Изобразить на рисунке.

(Ответ: 4 атома).

113.Определить число элементарных ячеек в единице объема меди (А=63,5∙10-3 кг/моль, ρ=8,9·103 кг/м3).

(Ответ: n=2,1·1028 м-3).

114.Определить плотность кальция, если у него решетка гранецентрированная кубическая, а расстояние между ближайшими атомами d=3,93 А, А=40∙10-3 кг/моль.

(Ответ: ρ=4·103 кг/м3).

115. Определить число элементарных ячеек в единице объема бария (ρ=3,5∙103 кг/м3, А=137·10-3 кг/моль).

(Ответ: n=7,6·1028 м3).

116. Найти плотность кристалла неона, если известно, что решетка его кубическая гранецентрированная ( а=4,5 А и А=20,2·10-3 кг/моль).

(Ответ: ρ=1472,91 кг/м-3).

117. Найти плотность кристалла стронция, если известно, что его решетка гранецентрированная кубическая, а расстояние между ближайшими атомами d=4,3 А и А=87,6·10-3 кг/моль

(Ответ: ρ=2,6·103 кг/м3).

118. Найти параметр решетки а и расстояние d между ближайшими соседними атомами кристалла: 1) алюминия ρAl=2,7 г/см3; А=27·103 кг/моль; 2) вольфрама ρW=19,3 г/см3; А=184·10-3 кг/моль.

(Ответ: 1) аAl = 4,04 A; d = 2,8 A; 2) aW = 3,16 A; d = 2,7 A).

119. Определить постоянную решетки сильвина (КСl), если Кα линия железа (λKα=1,9373 A) отражается от грани (001) под углом 18o3' во втором порядке.

(Ответ: а=6,28 А).

120. Изобразить схематически на рисунке ось второго, третьего, четвёртого и шестого порядка на лауэграмме или эпиграмме.

3. ТЕПЛОВЫЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ (ТЕПЛОЕМКОСТЬ, ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ, ТЕПЛОВОЕ РАСШИРЕНИЕ)

Основные формулы и соотношения

1. Внутренняя энергия химически простых твердых тел к классической теории теплоемкости дается формулой

U = 3RT, (5.1)

где R - универсальная газовая постоянная; Т - термодинамическая температура.

2. Закон Дюлонга и Пти. Молярная теплоемкость СV, простых твердых тел определяется

. (5.2)

3. Закон Неймана-Коппа. Молярная теплоемкость химически сложных тел (состоящих из различных атомов)

, (5.3)

где n - число частиц в химической формуле соединения.

4. Среднее значение энергии квантового осциллятора, приходящейся на одну степень свободы, в квантовой теории Эйнштейна определяется формулой

, (5.4)

где ε0 - нулевая энергия (ε0=1/2ω)); - постоянная Планка; ω - круговая частота; k- постоянная Больцмана; Т - термодинамическая температура.

5. Внутренняя энергия кристалла в квантовой теории Эйнштейна (для моля) определяется формулой.

, (5.5)

где - нулевая энергия по Эйнштейну: - характеристическая температура Эйнштейна.

6. Молярная теплоемкость кристалла в квантовой теории теплоемкости Энштейна

. (5.6)

При низких температурах (Т<θЕ)

.

7. Энергия U твердого тела связана со средней энергией квантового осциллятора и функцией распределения частот g(ω) соотношением

. (5.7)

8. Внутренняя энергия кристалла по Дебаю (для моля)

, (5.8)

где - нулевая энергия кристалла по Дебаю: - характеристическая температура Дебая.

9. Теплоемкость кристалла по Дебаю (для моля)

. (5.9)

В области низких температур (Т<θд) формула (5.9) принимает вид

. (5.10)

10. Энергия фонона ε связана с круговой частотой колебания соотношением

. (5.11)

11. Квазиимпульс фонона определяется выражением

. (5.12)

12. При малых значениях энергии фонона дисперсией волн можно пренебречь и тогда групповая и фазовая скорости совпадают

. (5.13)

Скорости продольных Ve и поперечных Vt волн в кристалле определяются выражениями

, . (5. 14)

где Е и G соответственно модули растяжения и сдвига.

Усредненное значение скорости звука связано с Ve и Vt, соотношением

. (5.15)

13. Количество теплоты dθ, перенесенное через поверхность площадью S, перпендикулярную направлению теплового потока, за время dt равно

. (5.16)

где К - коэффициент теплопроводности; - градиент температуры.

14. Коэффициент теплопроводности К; теплоемкость С, рассчитанная на единицу объема; скорость V звука (усредненное значение) и средняя длина свободного пробега фононов связаны соотношением

. (5.17)

15. Сила 1(х), возвращающая частицу в положение равновесия при (гармонических колебаниях, описывается соотношением

. (5.18)

где β - коэффициент гармоничности, связанный с равновесным расстоянием r0 между атомами кристалла и модулем Юнга Е соотношением

, (5.19)

- коэффициент ангармоничности, характеризующий асимметрию колебании атомов в твердом теле. Для оценки по порядку величины можно принять

. (5.20)

16. Коэффициент линейного расширения по определению записывается:

. (5.21)

Теоретически он выражается через коэффициенты и формулой

или приближенно ,

где - постоянная Больцмана.

Примеры решения задач

Задача 1. Определить теплоту, необходимую для нагревания кристалла NаСl массой 20 грамм от Т1=2 К до Т2=4 К. Характеристическая температуря θд для NаС1 равна 320.

Решение. Так как Т<θд, то в этом случае имеет место формула

. (1)

Но

. (2)

Из (2) имеем

. (3)

Подставив числовые значения величин, получим

.

Ответ: Q = 1,22·10-2Дж.

Задачи для самостоятельного решения

121. Вычислить удельную теплоемкость кристалла меди А=6З,5·10-3 кг/м3; Т = 390 К. (Ответ: С = 390 Дж/кг·К).

122. Определить изменение внутренней энергии кристалла никеля при нагревании его от t1= 0°С до t2= 200°С. Масса кристалла m=20г, А = 58,7·10-3 кг/моль. (Ответ: dU = 1,7 кДж),

123. Пользуясь законом Дюлонга и Пти, найти, во сколько раз удельная теплоемкость алюминия (А = 27·10-3 кг/моль) больше удельной теплоемкости платины (А = 185·10-3 г/моль)? (Ответ: В 7,2 раза).

124. Вычислить нулевую (Т = 0) энергию одного килоатома меди. Характеристическая температура для меди θD = 330 К, (Ответ: Ео = 2,99 МДж).

125. Определить максимальную частоту собственных колебаний атомов в кристалле золота по теории Дебая. Характеристическая температура золота θD = 225 К. (Ответ: = 3,76·1012 Гц).

126. Вычислить максимальную частоту собственных колебаний атомов кристалла серебра, если известно, что килоатомная теплоемкость серебра (Сν) при Т = 20 К равна 1,7 кДж/К-атом. Считать условие Т << QD выполнимым. (Ответ: = 4·1012 Гц).

127. Найти отношение изменения внутренней энергии (ΔЕ = E – Е0) к величине нулевой энергии (Е0) одного килоатома кристалла при нагревании его от Т1 = 0 К до Т2 = 0,1θD. Считать Т << θD. (Ответ: 5,2·103).

128. Определить изменение внутренней энергии одного килоатома кристалла при нагревании его от 0 К до Т = 0,1 θD. Считать θD = 300K, Т << θD.

(Ответ: ΔU = 14,6 кДж).

129. При нагревании m=10 г серебра от Т1 = 10 К до Т2 = 20 К было подведено ΔQ = 0,71 Дж теплоты. Определить дебаевскую температуру θD серебра. Считать µAg = 108 кг/кмоль. (Ответ: θD=212 К).

130. Вычислить теплоемкость цинка массой 100 г при температуре Т = 10К. характеристическая температура θ = 300 К. Считать Т << θD. µZn=654 кг/кмоль. (Ответ: С = 0,47 Дж/К).

4. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ ПОЛУПРОВОДНИКОВ. ЭФФЕКТ ХОЛЛА

Основные формулы и соотношения

1. Удельная проводимость собственных полупроводников

, (9.1)

где е - заряд электрона; n - концентрация носителей заряда (электронов и дырок); и - подвижности электронов и дырок.

2. Напряжение UH на гранях образца при эффекте Холла

, (9.2)

где UH - постоянная Холла; В - индукция магнитного поля; i - плотность тока; l - ширина пластины.

3. Постоянная Холла для полупроводников типа алмаза, кремния, германия и др., обладающих носителями заряда одного вида (n или р)

, (9.3)

где n - концентрация носителей заряда.

4. Удельная проводимость собственных полупроводников

, (9.4)

где - ширина запрещенной зоны; - константа; к - постоянная, Больцмана.

5. Зависимость концентрации носителей тока (электронов и дырок); от температуры в зоне проводимости

, (9.5)

где n0 - концентрация электронов в заполненной зоне; - энергия активации, необходимая электрону для перехода из валентной зоны в зону проводимости.

Примеры решения задач

Задача 1. Образец из германия n-типа в виде пластины длиной L = 10 см и шириной d=6 см помещен в однородное магнитное поле, (В = 0,1 Тл) перпендикулярно линиям магнитной индукции. При напряжении 250 В, приложенном к концам пластины, возникает холловская разность потенциалов UH=8,8 мВ. Определить: 1) постоянную Холла ; 2) концентрацию nn - носителей тока. Удельную проводимость германия принять равной 80 См/м.

Решение. При помещении полупроводника в магнитное поле (рис. 9.1) носители тока (в полупроводнике n-типа это электроны), перемещающиеся под действием приложенной к нему разности потенциалов будут отклоняться в поперечном направлении. Это отклонение, вызванное силой Лоренца, приведет к "накоплению" заряда на боковых поверхностях образца, причем создаваемое в результате этого напряжение UH (холловская разность потенциалов) действием своим будет уравновешивать силу Лоренца. Холловская разность потенциалов определяется соотношением , откуда постоянная Холла

. (1)

Плотность тока i найдем, воспользовавшись законом Ома в дифференциальной форме , где Е - напряженность поля в образце. Считая поле в образце однородным, можно написать и тогда

, (2)

Подставив (2) в формулу (1), получим

. (3)

Убедимся в том, что правая часть равенства (3) дает единицу постоянной Холла, м3/Кл:

Произведем вачислекия:

.

2. Концентрацию n носителей тока в полупроводнике одного типа (в нашем случае n-типа) можно найти из соотношения

,

где е - элементарный заряд. Отсюда

; Кл.

Произведем вычисления

электр./м3.

Ответ: 1) RH=7,33∙10-5м3/Кл; 2) электр./м3

Задачи для самостоятельного решения

131. Удельная проводимость кремния с примесями =112 См/м. Определить подвижность bp дырок и их концентрацию np, если постоянная Холла . Принять, что полупроводник обладает только дырочной проводимостью.

(Ответ: bp =3.6∙10-2 м2/В с; np= 2∙1022 м3).

132. Пластина из кремния шириной l=1 см и длиной L=10 см помещена в однородное магнитное поле с индукцией В=0,2 Тл. Вектор перпендикулярен вектору плоскости пластины. К концам пластины (вдоль L) приложено напряжение U=300 В. Определить холловскую разность потенциалов на гранях пластаны, если постоянная Холла м3/КК удельное сопротивление кремния р = 0,5 Ом×м. (Ответ: ).

133. Подвижность электронов в германии n-типа bp=3,7∙103 cм2/(В. с). Определить постоянную Холла , если удельное сопротивление полупроводника р =1,6∙10-2 Ом∙м. (Ответ: =7∙10-3 м3/Кл).

134. Концентрация носителей тока в кремнии равна n =5∙1010 см-3, подвижность электронов bn = 0,15 м2/(В. с.) и дырок bp = 0,05 м2/(В. с.). Определить сопротивление кремниевого стержня длиной L = 5 см и сечением S= 2 мм3. (Ответ: R= 1,56∙107 Ом).

135. Тонкая пластина из кремния шириной l=2 см помещена перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля (В=0,5 Тл). При плотности тока, направленного вдоль пластины l=2 мкА/мм2, холловская разность потенциалов оказалась =2,7 В. Определить концентрацию n носителей тока. (Ответ: n= 5,26∙1016 м-3).

136. Некоторый примесный полупроводник имеет решетку типа алмаза и обладает только дырочной проводимостью. Определить концентрацию np. дырок и их подвижность bp если постоянная Холла =3,8×104 м3/Кл. Удельная проводимость полупроводника =110 См/м.

(Ответ: np=1,9∙1022 м-3; bp=3,6 10-2 м2/(В. с.)).

137. В германии часть атомов замещена атомами сурьмы. Рассматривая дополнительный электрон примесного атома по модели Бора, оценить его энергию связи и радиус орбиты. Диэлектрическая проницаемость германия =16. (Ответ: Е=0,053 эВ; r=0,85 нм).

138. Собственный полупроводник (германиевый) имеет при некоторое температуре удельное сопротивление р = 0,5 Ом∙м. Определить концентрацию n носителей тока, если подвижность электронов bn = 0,38 м2/(В. С.).

(Ответ: n=2,23∙10-19 м3).

139. Подвижность электронов и дырок в кремнии соответственно равна bn=1,5 103 см2/(В. с.) к bp= 5∙102 см2/(В. с.). Вычислить постоянную Холла для кремния, если удельное сопротивление кремни р=6,2∙102 Ом∙м.

(Ответ: =146 м3/Кл).

140. Удельное сопротивление кремния с примесями р = 10-2 Ом∙м. Определить концентрацию np дырок и их подвижность bp. Принять, что полупроводник обладает только дырочной проводимостью и постоянная Холла =4∙10-4 м3/Кл.

(Ответ: np=1,85∙1022 м-3; bp=3,4 10-2 м2/(В. с.)).

5. КОНТАКТНАЯ РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ. Р-N-ПЕРЕХОД. ДИОДЫ

Основные формулы и соотношения

1. Концентрация свободных электронов в полупроводнике n - типа

. (10.1)

р - типа

, (10.2)

в чистом полупроводнике

. (10.3)

Концентрация дырок в полупроводнике

n – типа

. (10.4)

р - типа

. (10.5)

в чистом полупроводнике

. (10.6)

В формулах (10.1) - (10.6) и далее принять следующие обозначения:

nn - концентрация свободных электронов в полупроводнике n- типа; nd - концентрация ионов донорной примеси; np - концентрация свободных электронов в полупроводнике р-типа, na - концентрация ионов акцепторной примеси; n1- концентрация свободных электронов в чистом полупроводнике; рn - концентрация дырок в полупроводнике n–типа; рp - концентрация дырок в полупроводнике р-типа, р1 - концентрация дырок в чистом полупроводнике; mn - эффективная масса свободного электрона; mp-эффективная масса дырки; Т – абсолютная температура; h=6,67∙1034 Дж с - постоянная Планка; - ширина запрещенной зоны; К=1,38∙1023 Дж/К - постоянная Больцмана.

2. Контактная разность потенциалов в полупроводниковом диоде

, (10.7)

где е=1,6∙10-19 Кл - элементарный электрический заряд.

3. Сила тока I через плоскостной полупроводниковый диод в прямом (U>0) и обратном (U<0) направлениях при напряжении U, приложенном к р-п-переход.

, (10.8)

где ток насыщения

, (10.9)

где А - постоянный для данного диода коэффициент.

Дифференциальное сопротивление р-п-перехода диода

. (10.10)

Электрическая емкость закрытого плоскостного диода

, (10.11)

где =8,85∙10-12 Ф/м - электрическая постоянная; - диэлектрическая проницаемость полупроводника; S - площадь р-п-перехода, Uз -запирающее напряжение, приложенное к диоду (см. табл. 10.1).

Таблица 10.1 Некоторые постоянные полупроводниковых материалов

Свойства	Полупроводниковый материал
	Ga	Sl1	GaAs
Ширина запрещенной зоны, эв	0,72	1,12	1,35
Эффективная масса электрона,m0	0,12	0,26	0,072
Эффективная масса дырки, m0	0,2	0,39	0,5
Диэлектрическая проницаемость	16	12	11

Примечание m0 =9,11∙10-31 кг - масса электрона.

Примеры решения задач

Задача. 1. Какова должна быть концентрация ионов донорной примеси арсенида галлия при температуре 27° С чтобы концентрация основных носителей в 104 раз превышала концентрацию не основных носителей?

Решение. Полупроводник с донорной примесью есть полупроводник типа. Основными носителями являются свободные электроны с концентрацией nn, а не основными - дырки с концентрацией рn. На основании формулы (10.1) , а на основании формулы (10.4)

.

Тогда

,

откуда

.

Подставим данные

.

.

Проверка размерности

.

Ответ: м-3.

Задача 2. На сколько изменится контактная разность потенциалов кремниевого диода при нагревании его от 0°С до 300° С? Концентрация примесей р - и n - областей nd = na = 1∙1015 м-3.

Решение. На основании формулы (10.7) контактная разность потенциалов

.

Концентрация свободных, электронов в n - области по формуле (10.1) , где - концентрация доноров.

Концентрация свободных электронов в. р - области по формуле (10.9)

Тогда

Подставим табличные данные, физические константы и условия задачи в формулу

Проверка размерности

.

Ответ: В.

Задача 3. Определить ток насыщения полупроводникового плоскостного диода, если при температуре 300 К и напряжении 0.2 В прямой ток диода составляет 10 0м.

Решение. Используем формулу (10.8)

,

где К -постоянная Больцмана, е0 - элементарный заряд, откуда

.

Подставим данные условия и константы

.

Ответ: .

Задача 4. Во сколько раз возрастет дифференциальное сопротивление плоскостного полупроводникового диода, если его прямое включение изменено на обратное. Приложенное напряжение составляет 0,1 В. температура 290 К.

Решение. На основании формулы

,

где К - постоянная Больцмана; е0 - - элементарный заряд, определяем

.

При прямом включении U > 0. При обратном включении U < 0.

.

Подставим значения

.

Ответ: .

Задача 5. Определить контактную разность потенциалов р-п перехода, если после подачи запирающего напряжения 10 В электрическая емкость диода уменьшилась в 3 раза.

Решение. На основании формулы емкости закрытого плоскостного диода

.

Тогда отношение емкости при Uз=0 к емкости при Uз 0

, откуда и

.

Подставим данные .

Проверим размерности

Ответ: .

Задачи для самостоятельного решения

141. Какую часть от всех носителей составляют неосновные носители германия n-типа при температуре 77°С и концентрации ионов примеси 5∙1020 м-3?

(Ответ: ).

142. Во сколько раз число свободных электронов в кремнии р-типа меньше числа дырок при температуре 400 К и концентрации ионов акцепторной примеси 1,2∙1021 м-3?

(Ответ: ).

143. Найти число неосновных носителей тока в кристалле арсенида галлия объемом 1 мм3 при температуре 0°С при концентрации ионов акцепторной примеси 2∙1014 м-3.

(Ответ: N =2,04)

144. Во сколько раз увеличится концентрация неосновных носителей при увеличения температуры кристалла легированного арсенида галлия от 0°С до 150 °С?

(Ответ: ).

145. В германий ввели донорную примесь с концентрацией 1∙1020 м-3. Во сколько раз уменьшилось при этом число дырок? Температура кристалла 20°С.

(Ответ: ).

146. В кремний ввели акцепторную примесь с концентрацией 5×1015 м-3. Во сколько раз уменьшится число свободных электронов, если температура кристалла 27°С?

(Ответ: ).

147. Найти отношение концентраций дырок в р - и n-областях арсенидгаллиевого диода при температуре 350 К. Концентрации ионов донорной и акцепторной примесей одинаковы и составляют 1∙1018 м-3.

(Ответ: ).

148. Решить задачу 147 для германиевого диода при температуре 273К.

(Ответ: ).

149. Решить задачу 147 для кремниевого диода.

(Ответ: ).

150. Найти отношение концентраций свободных электронов в р - и n - областях германиевого диода при температуре 300 К. Концентрации ионов донорной и акцепторной примесей одинаковы и равны 2∙1020 .

(Ответ: ).

6. ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ (КЛАССИЧЕСКОЙ И КВАНТОВОЙ). ЭЛЕКТРОНЫ В МЕТАЛЛЕ. МАГНИТНЫЙ РЕЗОНАНС. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ. ЭФФЕКТ ДЖОЗЕФСОНА.

Основные формулы и соотношения

1. Распределение частиц в силовом поле (распределение Больцмана)

, (11.1)

где U - потенциальная энергия частиц; n - концентрация частиц; n0- концентрация частиц при U=0; К - постоянная Больцмана; Т - температура; е - основание натуральных логарифмов.

2. Распределение молекул по скоростям (распределение Максвелла) определяется двумя выражениями:

а) число молекул, скорости которых заключены в пределах от V до V+dV,

, (11.2)

где f(V) - функция распределения молекул по модулям скоростей; N - общее число молекул: m - масса молекулы;

б) число молекул, относительные скорости которых заключены в пределах от U до U + dU,

, (11.3)

где - относительная скорость, равная отношению скорости V к наиболее вероятной VВ; f(U)- функция распределения по относительным скоростям.

3. Распределение молекул по импульсам

, (11.4)

где f(p)-функция распределения по импульсам.

4. Распределение молекул по энергиям. Число молекул, энергии которых заключены в интервале от до

, (11.5)

где f() - функция распределения по энергиям.

5. Среднее значение физической величины Z в общем случае

, (11.6)

где f(х) - функция распределения, а интегрирование ведется по всей совокупности изменения величины Z. Если f(х) нормирована на единицу, то .

Например, средняя арифметическая скорость молекул газа

,

средняя квадратичная скорость

, где

средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы

.

6. Распределение Ферми по энергиям для свободных электронов в металле при Т = 0

, (11.7)

при и T=0

, (11.8)

где - концентрация электронов, энергия которых заключена в интервале от до ; m и - масса и энергия электрона; - уровень (или энергия) Ферми.

7. Уровень Ферми в металле при Т= 0

. (11.9)

8. Если в объеме V металла имеется N электронов, то . Величина вектора. Kf (волновой вектор Ферми) связана с n соотношением

. (11.10)

Сферу с радиусом Кf, содержащую одноэлектронные уровни, называют сферой Ферми. Поверхность сферы Ферми, отделяющую заполненные уровни от незаполненных, называют поверхностью Ферми.

9. Энергия Ферми обычно выражается через волновой вектору Ферми таким образом

. (11.11)

10. Скорость электрона на поверхности Ферми определяется выражением.

. (11.12)

11. Температура Ферми Тf в теории свободных электронов находится таким образом:

, (11.13)

где К - постоянная Больцмана; - энергия Ферми.

12. Температура Ткр выражается формулой

, (11.14)

где К - постоянная Больцмана: n - число электронов в единице объема; m - масса электрона.

13. Удельная электропроводность металлов определяется по классической теории Зоммерфельда

, (11.15)

где р - удельное сопротивление; n - число электронов в единице объема; е - заряд электрона; m - масса электрона; - время релаксации.

14. Магнитный момент ядра

, (11.16)

где g - ядерный фактор Ланде (g-фактор); - ядерный магнетон (); - масса протона; I - спиновое квантовое число ядра (спин ядра).

15. Связь магнитного момента ядра с моментом импульса LI ядра

, (11.17)

где - гиромагнитное отношение () и .

16. Проекция магнитного момента ядра на направление вектора магнитной индукции внешнего поля

, (11.18)

где mI =0,1,2.....I спиновое магнитное квантовое число ядра.

17. Резонансное поглощение СВЧ-энергии в магнитном поле происходит при условии

, (11.19)

где В0 - магнитная индукция внешнего постоянного магнитного поля.

18. Отношение населенностей энергетических уровней (в отсутствии высокочастотного поля)

, (11.20)

где N1 - заселенность энергетического уровня Е1: N2 - заселенность энергетического уровня Е2; Е2 > E1

19. По теории Бардина - Купера - Шриффера (БКШ)

, (11.21)

где Нс(0) - критическое магнитное поле при Т = 0; Нс(Т) - критическое магнитное поле при температуре Т < Тс; Тс - температура сверхпроводящего перехода.

20. По теории БКШ вблизи критической температуры (в нулевом поле) энергетическая щель изменяется в соответствии с универсальным законом

. (11.22)

21. Связь величины энергетической щели и критической температуры имеет вид

. (11.23)

22. Магнитный поток Ф, связанный со сверхпроводящим кольцом (или цилиндром), по которому течет ток, является кратным величине

, где - заряд куперовской пары.

Таким образом,

. (11.24)

Величина Фо носит название квант магнитного потока или флюксон.

23. Туннельный ток через переход Джозефсона (стационарный эффект) определяется соотношением

, (11.25)

где Ф - магнитный поток; - квант магнитного потока; I0 не зависит от магнитного поля, а зависит от температуры и структуры контакта.

24. Если к контакту Джозефсона приложить постоянное электрические напряжение U, то величина сверхпроводящего тока будет осуществляться с частотой (нестационарный эффект Джозефсона)

. (11.26)

Примеры решения задач

Задача 1. Образец металла объемом V=20 см3 находится при температуре Т = 0. Определить число свободных электронов, импульсы которых отличаются от максимального рmах не более, чем на 0,1 рmax. Энергия Ферми =5 эВ.

Решение. Для того, чтобы установить распределение свободных электронов по импульсам, необходимо воспользоваться распределением Ферми по энергиям при Т = 0 (11.8)

.

По физическому смыслу задачи

. (11.27)

Данной энергии соответствует определенный импульс р () и интервалу импульсов dр соответствует определенный интервал энергии , т. е. . Так как, то, подставив в правую часть равенства (11.27) вместо выражение (11.8) с заменой на р и на dр в соответствии с полученными соотношениями, имеем

.

После сокращений получим искомое распределение свободных электронов в металле по импульсу при Т = 0

. (11.28)

Число электронов в единице объема, импульсы которых заключены в интервале от 0,9рmах до рmах, найдем, проинтегрировав выражение (11.28)

.

или

. (11.29)

Так так максимальный импульс рmах и максимальная энергия электронов в металле (при Т = 0) связаны соотношением , некоторое искомое число свободных электронов в металле будет

. (11.30)

Подставив в (11.30) числовые значения величин, получим

=2,9∙1023 электронов.

Ответ: =2,9∙1023 электронов.

Задача 2. Образец из вещества, содержащего ядра (протоны), находится в однородном внешнем магнитном поле (В=1 Тл). Определить:

1) относительную разность заселенностей энергетических уровней при температуре Т = 300 К;

2) частоту , при которой будет происходить ядерный магнитный резонанс. Экранирующим действием электронных оболочек и соседних ядер пренебречь.

Решение. В магнитном поле ядра приобретают дополнительную энергию, даваемую равенством

, (11.31)

где - проекция магнитного момента ядра на направление вектора В (ось Z). Проекция магнитного момента ядра выражается формулой (11.18)

.

Подставив (11.18) в (11.31), получим

. (11.32)

Спиновое магнитное квантовое число протона может принимать только два значения: .

Значение соответствует нижнему энергетическому уровню

. (11.33)

Значение соответствует верхнему энергетическому уровню (рис. 11.1.)

. (11.34)

В отсутствии магнитного поля число ядер с противоположно направленными спинами одинаково и равно N/2 (N - общее число ядер). В магнитном поле происходит перераспределение ядер по энергетическим уровням. Число ядер N1 и N2 вычисляется, исходя из статистики Больцмана.

.

Так как (это будет показано ниже), то можно воспользоваться приближенными равенствами если х<1.

Тогда

, (11.35)

. (11.36)

Разность населенности энергетических уровней найдем, вычитая из (11.35) равенство (11.36)

. (11.37)

Разделив на N, получим относительную разность заселенностей энергетических уровней

. (11.38)

Выразим все величины в единицах СИ: (для протона); А∙м2; В =1 Тл; К = 1,38∙10 -23 Дж/К; Т = 300 К.

Подставив эти значения в формулу (11.38) получим

.

Полученный результат оправдывает наше допущение, что . Под действием электромагнитного излучения, угловая частота которого

. (11.39)

будут происходить переходы между уровнями Е1 и Е2, причем излучение вызывает переходы и , с равной вероятностью при условии одинаковой заселенности энергетических уровней. Так как нижний уровень имеет большую заселенность, чем верхний, то переходы с поглощением; электромагнитного излучения () будут происходить чаще, чем с излучением (). Это и есть резонансное поглощение электромагнитного излучения, обусловленное ядерным магнетизмом (ЯМР).

Подставив в (11.39) выражение для анергий Е1 и Е2 согласно (11.33) и (11.34), и, учтя, что , найдем резонансную частоту для внешнего магнитного поля В:

, (11.40)

вставив числовые величины в (11.40). Получим МГц.

Ответ: МГц.

Задачи для самостоятельного решения

161. Определить концентрацию n свободных электронов в при температуре Т = 0 К. Энергию Ферми принять равной эВ.

(Ответ: n = 5,6∙1025).

162. Определить отношение концентраций свободных электронов при Т = 0 К в литии и цезии, если известно, что уровни Ферми в этих металлах соответственно равны эВ; эВ.

(Ответ: ).

163. Определить число свободных электронов, которое приходится на один атом натрия при температуре Т =0 К. Уровень Ферми для натрия равен 3,12 эВ. Плотность р натрия равна 970 лГ/м3.

(Ответ: n = 0,9).

164. Определить вероятность того что электрон в металле займет энергетическое состояние, находящееся в интервале эВ ниже уровня Ферми и выше уровня Ферми для двух температур:

1)Т!=290 К; 2) Т2=56 К.

(Ответ: 1) W1=0,893 и W2 =0,119; 2) W1=0,999955 и W2 =4,5∙10-5).

165. Вычислить среднюю кинетическую энергию электронов в металле при температуре Т= 0 К, если уровень Ферми =7 эВ.

(Ответ: эВ).

166. Электроны в металле находятся при температуре Т=0 К. Найти относительное число свободных электронов, кинетическая энергии которых отличается от энергии Ферми не более, чем на 2%.

(0твет: =0,03).

167. По функции распределения электронов в металле по импульсам установить распределение по скоростям:

1) при любой температуре Т; 2) при Т=0 К.

(Ответ:

1) при T0;

2) при Т=0).

168. Определить максимальную скорость Vmах электронов в металле при Т=0 К, если уровень Ферми =5 эВ.

(Ответ: =1,32∙106 м/с).

169. Используя таблицу Менделеева (приложение 4) вычислить время релаксации для меди, алюминия и железа при Т = 273 К.

(Ответ: с; с; с).

170. Используя таблицу Менделеева (приложение 4), вычислить волновой вектор Ферми КF, скорость Ферми VF и температуру Ферми ТF для Au, Сu, Fе, Аl, Sn, Ве.

(Ответ; КFAu=1,21∙1010 м-1; КFSn=1,64∙1010 м-1; TFAu =6,42∙104 К; TFSn=11,8∙104 К; VFAu = 1,4∙105 м/с; VFSn = 1,90∙106 м/с).

Приложение 1 Основные физические константы

Скорость света в вакууме	с = 2,998·108 м/с
Гравитационная постоянная	γ = 6,67·10-11 м3/кг·с2
Ускорение свободного падения	g = 9,807 м/с2
Число Авогадро	Na = 6,023·1023 моль-1
Число Лошмидта	n0 = 2,69·1025 м-3
Универсальная газовая постоянная	R = 8,314 Дж/К·моль
Постоянная Больцмана	K = 1,38·10-23 Дж/К
Заряд электрона	е = 1,602·10-19 Кл
Масса электрона	me = 0,911·10-30 кг
Удельный заряд электрона	e/me = 1,76·1011 Кл/кг
Масса протона	mp = 1,672·10-27 кг
Удельный заряд протона	e/mp = 0,959·108 Кл/кг
Постоянная Стефана – Больцмана	δ = 5,67·10-8 Вт/м2·К4
Постоянная закона смещения Вина	b = 0,29 см·К
Постоянная Планка	h = 1,054·10-34 Дж·с h = 0,659·10-15 эВ·с h = 6,53·10-34 Дж·с
Постоянная Ридберга	R = 3,29·1015 с-1 R = 1,097·107 м-1
Первый боровский радиус	r1 = a0 = 0,529·10-10 м
Энергия связи электрона в атоме водорода	E1 = 13,56 эВ
Комптоновская длина волны электрона	λс = 3,86·10-13 м
Классический радиус электрона	re = 2,82·10-15 м
Магнетон Бора	µB = 9,27·10-24 Дж/Тл
Атомная единица массы	1 а.е.м. = 1,66·10-27 кг
Ядерный магнетон	µN = 5,05·10-27 Дж/Тл
Магнитный момент протона	µP = 2,79 µN
Магнитный момент нейтрона	µn = -1,913 µN
Электрическая постоянная	ε0 = 0,885·10-11 Ф/м
Магнитная постоянная	µ0 = 1,257·10-6 Гн/м

Приложение 2 Периоды полураспада радиоизотопов

Z	Изотоп	Тип распада	Период распада
11	Натрий Na22	γ	2,6 года
12	Магний Mg27	β-	10 минут
15	Фосфор P32	β-	14,3 суток
27	Кобальт Co60	β	5,2 года
38	Стронций Sr90	β	28 лет
53	Йод I131	β-, γ	8 суток
77	Иридий Ir192	β-, γ	75 суток
84	Полоний Po210	α	138 суток
86	Радон Rn222	α	3,8 суток
88	Радий Ra226	α	1620 лет
89	Актиний Ac225	α	10 суток
90	Торий Th229	α, γ	7·103 лет
92	Уран U238	α	4,5·109 лет

Приложение 3

Таблица 1 Край К – полосы поглощения рентгеновского излучения

Z	Элемент	λК, пм	Z	Элемент	λК, пм
23	V	226,8	47	Ag	48,6
24	Cr	207,0	50	Sn	42,39
25	Mn	189,6	74	W	17,85
26	Fe	174,3	78	Pt	15,85
27	Co	160,4	79	Au	15,35
28	Ni	148,6	82	Pb	14,05
29	Cu	138,0	92	U	10,75
30	Zn	128,4
42	Mo	61,9

Таблица 2 Массовые коэффициенты ослабления (рентгеновское и γ – излучение, узкий пучок)

λ, пм	Массовый коэффициент ослабления µ/ρ, см2/г
	Воздух	Вода	Алюминий	Медь	Свинец
10		0,16	0,16	0,36	3,8
20		0,16	0,28	1,5	4,9
30		1,29	0,47	4,3	14
40		0,44	1,1	9,8	31
50	0,48	0,66	2,0	19	54
60	0,75	1,0	3,4	32	90
70	1,3	1,5	5,1	48	139
80	1,6	2,1	7,4	70
90	2,1	2,8	11	98
100	2,6	3,8	15	131
150	8,7	12	46	49
200	21	28	102	108
250	39	51	194	198

Добавить комментарий

Имя (обязательное)

E-Mail (обязательное)

Подписаться на уведомления о новых комментариях

Обновить

Отправить

Отменить