Сборник задач по физике твёрдого тела. Элементы физики атома и квантовой механики.

1. АТОМ ВОДОРОДА ПО БОРУ

1. Момент импульса электрона на стационарных орбитах

, (1.1)

где mе - масса электрона; rn - радиус стационарной орбиты; Vn - скорость электрона на этой орбите; h - постоянная Планка.

2. Полная энергия электрона, находящегося на n-ой орбите

, (1.2)

где ε0- диэлектрическая постоянная.

3. Обобщенная формула Бальмера

, (1.3)

, (1.4)

где R' и R=cR' - постоянная Ридберга; n1, и n2 - целые числа: n1, - номер серии спектральных линий (n1=1 - серия Лаймана. n1=2 - серия Бальмера. n1=3 - серия Пашена и т. д.); n2=n1+m (m - номер спектральной линии в данной серии).

4. Энергия фотона, испущенного атомом водорода и водородоподобных ионов при переходе из одного стационарного состояния в другое

. (1.5)

2. АТОМ ВОДОРОДА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

1. В атоме водорода (водородоподобный ион) потенциальная энергия U(r) имеет вид

, (2.1)

где z - зарядовое число; е - заряд электрона; ε0 - электрическая постоянная; г - расстояние от ядра.

2. Собственные значения полной энергии электрона в атоме водорода

, (2.2)

где n - главное квантовое число (n=1,2,3,...); - постоянная Планка.

3. Вероятность dω того, что электрон находится в области, ограниченной элементом объема dV, взятого в окрестности точки с координатами (r, θ,φ)

, (2.3)

где n, l, m - квантовые числа: главное, орбитальное, магнитное;

– волновая функция электрона: – элементарный объём (в сферических координатах).

4. В S - состоянии волновая функция не зависит от т. е. является сферически симметричной и имеет вид:

- в 1S - состоянии (основном) ; (2.4)

- в 2S - состоянии , (2.5)

где - боровский радиус.

5. Орбитальный момент импульса электрона в атоме водорода

, (2.6)

где l – орбитальное квантовое число (l=0,1,2,3,…,(n-1)).

6. Орбитальный магнитный момент электрона

, (2.7)

где µB - магнетон Бора.

7. Спин (собственный момент импульса электрона)

, (2.8)

где S - спиновое квантовое число. S = 1/2.

8. Спиновый магнитный момент электрона

. (2.9)

9. Проекция орбитального момента импульса и магнитного момента на направление внешнего магнитного поля Z

, (2.10)

, (2.11)

где m - магнитное квантовое число (m=0, ±1, ±2,...±1).

10. Проекция спина и спинового магнитного момента на направление внешнего магнитного поля Z

, (2.12)

, (2.13)

где (ms - спиновое магнитное квантовое число ms = ± 1/2).

11. Состояния электрона в атоме водорода:

квантовое число 1=0 1 2 3 4 5... ;

условное обозначение s р d f g h... .

12. Сила, действующая на контур с током в магнитном поле

, (2.14)

где - изменение индукции вдоль оси Z;

α - угол между векторами µ и В.

3. ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА МИКРОЧАСТИЦ. СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

1. Длина волны де Бройля

, (6.1)

где p - импульс частицы; = 6,62·10-34 Дж·с - постоянная Планка. Импульс частицы и его связь с кинетической энергией для двух случаев:

а) ; (6.2)

б) ; , если , (6.3)

где V - скорость движения частицы; С - скорость света; m0 - масса покоя частицы; – энергия покоя частицы.

2. Соотношения неопределенностей для координат и импульсов

, (6.4)

где ΔPx - неопределенность проекции импульса частицы на ось х; Δx неопределенность ее координаты; Дж·с.

3. Соотношение неопределенностей для энергии

, (6.5)

где ΔЕ - неопределенность энергии; Δt - время пребывания квантовой системы в данном энергетическом состоянии.

4. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ

1. Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний

, (7.1)

где ψ(х) - волновая функция, описывающая состояние частицы; m - масса частицы; Е - полная энергия частицы; U = U(х) - потенциальная энергия частицы; = 1,5·10-34 Дж·с.

2. Одномерное уравнение Шредингера для потенциальной ямы

, (7.2)

где ψ(х) - волновая функция, описывающая состояние частицы, находящейся в бесконечно глубоком одномерном потенциальном ящике для области II(см. рис.7.1)

3. Решение уравнения Шредингера (7.2)

, (7.3)

где ψn(х) - собственные волновые функции частицы; n - квантовое число (n = 1,2,3,...); l - ширина ящика.

4. Собственное значение полной энергии частицы, находящейся на nM энергетической уровне в потенциальном ящике

. (7.4)

5. Плотность вероятности

, (7.5)

где dψ(х) - вероятность того, что частица может быть обнаружена вблизи точки с координатой х на участке dх.

6. Вероятность обнаружения частицы в интервале от x1 до х2

. (7.6)

7. Условие нормировки собственной функции

. (7.7)

8. Связь волнового вектора с полной энергией

. (7.8)

5. ЛИНЕЙНЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР. ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦЫ ЧЕРЕЗ БАРЬЕР. ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ

1. Коэффициент преломления волн де Бройля на границе низкого потенциального барьера бесконечной ширины

, (8.1)

где λ1, λ2 - длина волны де Бройля перед барьером и в области барьера; k1,k2 - волновые числа.

2. Коэффициент отражения ρ и пропускания волн де Бройля через низкий потенциальный барьер (U < Е) бесконечной ширины

; (8.2)

. (8.3)

3. Коэффициент прозрачности барьера конечной ширины (вероятность прохождения частицы через барьер)

. (8.4)

В случае прямоугольного барьера конечной ширины d

. (8.5)

4. Потенциальная энергия гармонического осциллятора

, (8.6)

где β - коэффициент квазиупругой силы.

5. Приведенная масса

. (8.7)

6. Собственная частота гармонического осциллятора

. (8.8)

7. Энергия колебаний гармонического квантового осциллятора

, (8.9)

где n = 0,1,2,3...

ЗАДАЧИ

1. РЕНТГЕНОВСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЕГО СПЕКТРЫ

Основные формулы и соотношения

1. Коротковолновая граница λmin рентгеновского спектра определяется выражением.

, (3.1)

где е - заряд электрона; U - разность потенциалов, приложенная к трубке.

2. Закон Мозли. Длина волны характеристического рентгеновского излучения может быть определена по формуле

, (3.2)

где Z, - порядковый номер элемента в таблице Менделеева; b - постоянная экранирования. Для К - серии b=1; n1=1; n2=2,3,4, R - постоянная Ридберга.

Закон Мозли в этом случае будет иметь вид (для Кα-серии)

. (3.3)

3. Энергия фотона, соответствующего К - линии характеристического излучения, выражается формулой

, (3.4)

где Е1=13,55 эВ.

4. Максимум интенсивности непрерывного рентгеновского спектра определяется формулой

. (3.5)

Примеры решения задач

Задача 1. Определить энергию и длину волны К - линии характеристического рентгеновского спектра, излучаемого вольфрамом при бомбардировке его быстрыми электронами.

Решение. Быстрые электроны, проникая внутрь электронной оболочки атома, выбивают электроны, принадлежащие внутренним электронным слоям. Ближайший к ядру электронный слой (К-слой) содержит два электрона, если один из этих электронов оказывается выбитым за пределы атома, то при переходе электрона из вышележащих слоев (L, М,N...) на К-слой возникает соответствующая линия К-серии (рис. 3.1).

При переходе электрона с L-слоя на К-слой излучается наиболее интенсивнее К - линия характеристического рентгеновского спектра. Электрон L-слоя находится в поле ядра с зарядом Zе, которое ослаблено одним электроном, оставшимся в К-слое. Таким образом, заряд Z1 (эффективный заряд), определяющий электрическое поле, в котором находится электрон, переходящий с L,-слоя на К-слой, меньше заряда ядра на величину заряда одного электрона

. (1)

Внешние электронные слои можно рассматривать как сферически симметричные и тогда электрическое поле внутри этих слоев отсутствует. Поэтому для L-К-перехода можно использовать сериальную формулу выведенную для атома водорода;

Если заменить в ней заряд Z1, используя формулу (1), получим Формулу

. (2)

Подставив в (2) выражение λK через энергий фотона

, (3)

и решив полученное уравнение относительно εKα, найдем

. (4)

Но hcR есть энергия ионизации атома водорода (E1=13,6 эВ), следовательно

. (5)

Подставив в (5) значение зарядового числа Z (для вольфрама Z=74) и величину энергии ионизации атома водорода, и, произведя вычисления, получим:

.

Длину волны рентгеновского излучения можно определить по формуле (2) или (3). Воспользуемся последней формулой, подставив числовые значения величин, получим

.

Ответ.

Задачи с ответами для самостоятельного решения

101. Вычислить частоту и длину волны Кα - линии Мо, а также энергию кванта, соответствующего этой линии.

(Ответ: ν=4,16∙1018 Гц; λ=0,72А; E=hν=17,1∙103 эВ).

102. Найти приближенно минимальное напряжение U на рентгеновской трубке, при котором начинают появляться линии серии Кα Мо.

(Ответ: U=23 кВ).

103. То же, что и в предыдущей задаче, но для меди.

(Ответ: U=10 кВ).

104. Найти приближенно минимальное напряжение на рентгеновской трубке, при котором начинают появляться линии серии Кα железа.

(Ответ: U=8,5 кВ).

105. Найти минимальное напряжение на рентгеновской трубке, при котором начинают появляться линии серии Кα хрома.

(Ответ: U=6.0 кВ).

106. Может ли Кα -излучение Fе вызвать вторичное γ-излучение хрома и кобальта?

(Ответ: Cr - может, а Со – нет, так как εK(Fe)=6,35 кэВ, εК(Со)=6,87 кэВ, εК(Cr)=5,38 кэВ).

107. Какие линии никеля возбуждаются Кα - излучением кобальта?

(Ответ: Возбуждаются все линии всех серий, кроме К-серии).

108. Найти границу К-полосы поглощения молибдена.

(Ответ: λМо = 0,62 А).

109. Найти границу К-полосы поглощения меди и железа.

(Ответ: λFe=1,7 A; λCu=1,4 A).

110. Известно, что длина волны Кα - линии одного элемента равна 0,788 А, а другого 0,713 А. Выяснить, стоят ли эти элементы рядом таблице Менделеева. Какие это элементы?

(Ответ: Не стоят рядом, N40, N42).

2. ЭЛЕМЕНТЫ КРИСТАЛЛОГРАФИИ И ДИФРАКЦИИ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ

Основные формулы и соотношения

1. Молярный объем кристалла

, (4.1)

где µ - молярная масса вещества; ρ - плотность кристалла. Объем V элементарной ячейки в кристаллах:

а) при кубической сингонии V=a3, где а - параметр элементарной ячейки;

б) при гексагональной сингонии , где а, с - параметры решетки.

Если для гексагональной решетки принять теоретическое значение

.

2. Число элементарных ячеек в одном моле кристалла

или , (4.2)

где k - число одинаковых атомов в химической формуле соединена (например, в кристалле NaCl k=1); Nа - постоянная Авогадро; n – число атомов, приходящихся на элементарную ячейку.

На рис. 4.1 изображена структура NаСl. Аналогичную структуру имен соединения АgВr, КВr, МnO и другие.

3. Число z элементарных ячеек в единице объема кристалла или в общем случае

,

причем для кристалла, состоящего из одинаковых атомов (k=1)

. (4.3)

4. Параметр а кубической решетки

. (4.4)

Расстояние d между соседними атомами в кубической решетке:

а) в гранецентрированной ;

б) в объемно-центрированной .

5. Для обозначения узлов, направлений плоскостей в решетке вводятся специальные индексы. Индексы узлов записывают в двойных квадратных скобках [[mnp]]. Для отрицательных индексов над буквой ставится знак минус, например (рис. 4.2).

6. Индексы направлений записываются в одинарных квадратных скобках [mnp]. Индекс направления совпадает с индексом узла, через который проходят прямая, если эта прямая одновременно проходит и через начало координат [[000]] рис. 4.2. Индексы направления задают не одну прямую в кристалле, а семейство параллельных прямых. Изменение всех индексов на обратные по знаку [mnp] означает то же самое направление в кристалле.

7. Период идентичности вдоль прямой задается индексами [mnp] в кубической решетке и выражается соотношением

, (4.5)

где а - параметр элементарной ячейки.

8. Угол φ между прямыми [m1n1p1] и [m2n2p2] в кубической решетке выражается формулой

. (4.6)

9. Индексы плоскости (индексы Миллера) записывают в круглых скобках и стандартно обозначают (hkl). Изменение всех индексов на обратные () отвечает тому же семейству плоскостей.

Для нахождения отрезков следует взять обратные величины индексов Миллера (1/h, 1/k. 1/l) и привести их к наименьшему целому, кратному каждому из полученных чисел. Полученные значения и есть наименьшие отрезки, отсекаемые плоскостью (hkl) на осях координат.

Если известны отрезки, отсекаемые на осях координат, то индексы Миллера пропорциональны направляющим косинусам вектора нормали к данной плоскости. Поэтому индексы Миллера для некоторого семейства плоскостей совпадают с индексами направлений нормали к этим плоскостям.

10. Угол между плоскостями (h1k1l1) и (h2k2l2) определяется из формулы

, (4.7)

а между прямой [mnp] и плоскостью (hkl) - из формулы

. (4.8)

11. Формула Вульфа-Брэгга

, (4.9)

где d - межплоскостное расстояние в кристалле; θ - угол скольжения (угол между направлением пучка параллельных лучей, падающих на кристалл, и гранью кристалла), определяющий направление, в котором имеет место зеркальное отражение лучей (дифракционный максимум); m - порядок отражения (для поликристаллов m=1); λ - длина волны рентгеновского излучения.

12. Межплоскостное расстояние d(hkl), индексы Миллера и период решетки кубического кристалла связаны между собой соотношением

. (4.10)

Подставляя это равенство в формулу Вульфа-Брэгга, получим

. (4.11)

13. Для простой кубической решетки

Σ=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,....

Для объемно-центрированной (ОЦК) наблюдаются отражения только от тех плоскостей, для которых сумма индексов четная, то есть

Σ=2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,...;

для гранецентрированной кубической решетки наблюдается отражения от тех плоскостей, для которых все три индекса Миллера четные или все три нечетные, то есть

Σ=3,4,8,11,12,16,19,...;

Примеры решения задач с ответами

Задача 1. Параллельный пучок рентгеновского излучения падает на грань кристалла. Под углом θ=65° к плоскости грани наблюдается максимум первого порядка. Расстояние d между атомными плоскостями кристалла 280 пм. Определить длину волны λ рентгеновского излучения.

Решение. для решения задачи необходимо воспользоваться формулой Вульфа-Брэгга 2dsinθ=mλ.

Так как m=1, то, подставив в эту формулу числовые величины, получим

λ = 2·280·sin65=560·sin65 = 506 пм.

Ответ: λ = 506 пм.

Задача 2. Определить число узлов, приходящихся на одну элементарную ячейку в гранецентрированной кубической решетке.

Решение. Выделим элементарную ячейку в кубической решетке (рис. 4,3) и определим, скольким соседним элементарным ячейкам принадлежит тот или иной узел выделенной ячейки. В этой ячейке имеются узлы двух типов: А (находящиеся в вершинах куба) и В (находящиеся на гранях куба в точке пересечения диагоналей).

Узел А принадлежит одновременно восьми элементарным ячейкам. Следовательно, в данную ячейку узел А входит с долей 1/8. Узел В входит одновременно только в две ячейки и, следовательно, в данную ячейку узел В входит с долей 1/2. Если учесть, что число узлов типа А в ячейке равно восьми, а число узлов типа В равно шести, т. е. числу граней, то общее число узлов, приходящихся на одну элементарную ячейку в гранецентрированной решетке

n = (1/8)∙8+(1/2)∙6=1+3=4 узла.

Так как число узлов равно числу атомов, то в соответствующей структуре на элементарную ячейку приходится четыре атома.

Задача 3. Определить параметр, а решетки и расстояние d между ближайшими соседними атомами кальция (решетка, гранецентрированная кубической сингонии). Плотность ρ кристалла кальция равна 1,55∙103 кг/м3;

Решение. Параметр кубической решетки, а связан с объемом элементарной ячейки соотношением V=а3. С другой стороны, объем элементарной ячейки равен отношению молярного объема к числу элементарных ячеек в одном моле кристалла: V=Vm/zm.

Приравняв правые части приведенных выражений для V, найдем

. (1)

Молярный объем кальция Vm=µ/ρ, где ρ - плотность кальция; µ – молярная масса.

Число элементарных ячеек в одном моле zm=Na/n, где n - число атомов, приходящихся на одну ячейку. Подставив в формулу (1) приведенные выражения для Vm и zm, получим а3 = nµ/ρNa.

Подставив в последнюю Формулу числовые значения n=4 и µ, ρ и Na, получим, а=556 пм.

Расстояние d между ближайшими соседними атомами находится из простых геометрических соображений: .

Подставив в эту формулу величину а, получим d=393 пм.

Ответ: d=393 пм.

Задачи для самостоятельного решения

111. Сколько атомов приходится на одну элементарную ячейку объемно центрированной решетки кубической сингонии? Изобразить на рисунке.

(Ответ: 2 атома).

112.Сколько атомов приходится на одну элементарную ячейку гранецентрированной решетки кубической сингонии. Изобразить на рисунке.

(Ответ: 4 атома).

113.Определить число элементарных ячеек в единице объема меди (А=63,5∙10-3 кг/моль, ρ=8,9·103 кг/м3).

(Ответ: n=2,1·1028 м-3).

114.Определить плотность кальция, если у него решетка гранецентрированная кубическая, а расстояние между ближайшими атомами d=3,93 А, А=40∙10-3 кг/моль.

(Ответ: ρ=4·103 кг/м3).

115. Определить число элементарных ячеек в единице объема бария (ρ=3,5∙103 кг/м3, А=137·10-3 кг/моль).

(Ответ: n=7,6·1028 м3).

116. Найти плотность кристалла неона, если известно, что решетка его кубическая гранецентрированная ( а=4,5 А и А=20,2·10-3 кг/моль).

(Ответ: ρ=1472,91 кг/м-3).

117. Найти плотность кристалла стронция, если известно, что его решетка гранецентрированная кубическая, а расстояние между ближайшими атомами d=4,3 А и А=87,6·10-3 кг/моль

(Ответ: ρ=2,6·103 кг/м3).

118. Найти параметр решетки а и расстояние d между ближайшими соседними атомами кристалла: 1) алюминия ρAl=2,7 г/см3; А=27·103 кг/моль; 2) вольфрама ρW=19,3 г/см3; А=184·10-3 кг/моль.

(Ответ: 1) аAl = 4,04 A; d = 2,8 A; 2) aW = 3,16 A; d = 2,7 A).

119. Определить постоянную решетки сильвина (КСl), если Кα линия железа (λKα=1,9373 A) отражается от грани (001) под углом 18o3' во втором порядке.

(Ответ: а=6,28 А).

120. Изобразить схематически на рисунке ось второго, третьего, четвёртого и шестого порядка на лауэграмме или эпиграмме.

3. ТЕПЛОВЫЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ (ТЕПЛОЕМКОСТЬ, ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ, ТЕПЛОВОЕ РАСШИРЕНИЕ)

Основные формулы и соотношения

1. Внутренняя энергия химически простых твердых тел к классической теории теплоемкости дается формулой

U = 3RT, (5.1)

где R - универсальная газовая постоянная; Т - термодинамическая температура.

2. Закон Дюлонга и Пти. Молярная теплоемкость СV, простых твердых тел определяется

. (5.2)

3. Закон Неймана-Коппа. Молярная теплоемкость химически сложных тел (состоящих из различных атомов)

, (5.3)

где n - число частиц в химической формуле соединения.

4. Среднее значение энергии квантового осциллятора, приходящейся на одну степень свободы, в квантовой теории Эйнштейна определяется формулой

, (5.4)

где ε0 - нулевая энергия (ε0=1/2ω)); - постоянная Планка; ω - круговая частота; k- постоянная Больцмана; Т - термодинамическая температура.

5. Внутренняя энергия кристалла в квантовой теории Эйнштейна (для моля) определяется формулой.

, (5.5)

где - нулевая энергия по Эйнштейну: - характеристическая температура Эйнштейна.

6. Молярная теплоемкость кристалла в квантовой теории теплоемкости Энштейна

. (5.6)

При низких температурах (Т<θЕ)

.

7. Энергия U твердого тела связана со средней энергией квантового осциллятора и функцией распределения частот g(ω) соотношением

. (5.7)

8. Внутренняя энергия кристалла по Дебаю (для моля)

, (5.8)

где - нулевая энергия кристалла по Дебаю: - характеристическая температура Дебая.

9. Теплоемкость кристалла по Дебаю (для моля)

. (5.9)

В области низких температур (Т<θд) формула (5.9) принимает вид

. (5.10)

10. Энергия фонона ε связана с круговой частотой колебания соотношением

. (5.11)

11. Квазиимпульс фонона определяется выражением

. (5.12)

12. При малых значениях энергии фонона дисперсией волн можно пренебречь и тогда групповая и фазовая скорости совпадают

. (5.13)

Скорости продольных Ve и поперечных Vt волн в кристалле определяются выражениями

, . (5. 14)

где Е и G соответственно модули растяжения и сдвига.

Усредненное значение скорости звука связано с Ve и Vt, соотношением

. (5.15)

13. Количество теплоты dθ, перенесенное через поверхность площадью S, перпендикулярную направлению теплового потока, за время dt равно

. (5.16)

где К - коэффициент теплопроводности; - градиент температуры.

14. Коэффициент теплопроводности К; теплоемкость С, рассчитанная на единицу объема; скорость V звука (усредненное значение) и средняя длина свободного пробега фононов связаны соотношением

. (5.17)

15. Сила 1(х), возвращающая частицу в положение равновесия при (гармонических колебаниях, описывается соотношением

. (5.18)

где β - коэффициент гармоничности, связанный с равновесным расстоянием r0 между атомами кристалла и модулем Юнга Е соотношением

, (5.19)

- коэффициент ангармоничности, характеризующий асимметрию колебании атомов в твердом теле. Для оценки по порядку величины можно принять

. (5.20)

16. Коэффициент линейного расширения по определению записывается:

. (5.21)

Теоретически он выражается через коэффициенты и формулой

или приближенно ,

где - постоянная Больцмана.

Примеры решения задач

Задача 1. Определить теплоту, необходимую для нагревания кристалла NаСl массой 20 грамм от Т1=2 К до Т2=4 К. Характеристическая температуря θд для NаС1 равна 320.

Решение. Так как Т<θд, то в этом случае имеет место формула

. (1)

Но

. (2)

Из (2) имеем

. (3)

Подставив числовые значения величин, получим

.

Ответ: Q = 1,22·10-2Дж.

Задачи для самостоятельного решения

121. Вычислить удельную теплоемкость кристалла меди А=6З,5·10-3 кг/м3; Т = 390 К. (Ответ: С = 390 Дж/кг·К).

122. Определить изменение внутренней энергии кристалла никеля при нагревании его от t1= 0°С до t2= 200°С. Масса кристалла m=20г, А = 58,7·10-3 кг/моль. (Ответ: dU = 1,7 кДж),

123. Пользуясь законом Дюлонга и Пти, найти, во сколько раз удельная теплоемкость алюминия (А = 27·10-3 кг/моль) больше удельной теплоемкости платины (А = 185·10-3 г/моль)? (Ответ: В 7,2 раза).

124. Вычислить нулевую (Т = 0) энергию одного килоатома меди. Характеристическая температура для меди θD = 330 К, (Ответ: Ео = 2,99 МДж).

125. Определить максимальную частоту собственных колебаний атомов в кристалле золота по теории Дебая. Характеристическая температура золота θD = 225 К. (Ответ: = 3,76·1012 Гц).

126. Вычислить максимальную частоту собственных колебаний атомов кристалла серебра, если известно, что килоатомная теплоемкость серебра (Сν) при Т = 20 К равна 1,7 кДж/К-атом. Считать условие Т << QD выполнимым. (Ответ: = 4·1012 Гц).

127. Найти отношение изменения внутренней энергии (ΔЕ = E – Е0) к величине нулевой энергии (Е0) одного килоатома кристалла при нагревании его от Т1 = 0 К до Т2 = 0,1θD. Считать Т << θD. (Ответ: 5,2·103).

128. Определить изменение внутренней энергии одного килоатома кристалла при нагревании его от 0 К до Т = 0,1 θD. Считать θD = 300K, Т << θD.

(Ответ: ΔU = 14,6 кДж).

129. При нагревании m=10 г серебра от Т1 = 10 К до Т2 = 20 К было подведено ΔQ = 0,71 Дж теплоты. Определить дебаевскую температуру θD серебра. Считать µAg = 108 кг/кмоль. (Ответ: θD=212 К).

130. Вычислить теплоемкость цинка массой 100 г при температуре Т = 10К. характеристическая температура θ = 300 К. Считать Т << θD. µZn=654 кг/кмоль. (Ответ: С = 0,47 Дж/К).

4. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ ПОЛУПРОВОДНИКОВ. ЭФФЕКТ ХОЛЛА

Основные формулы и соотношения

1. Удельная проводимость собственных полупроводников

, (9.1)

где е - заряд электрона; n - концентрация носителей заряда (электронов и дырок); и - подвижности электронов и дырок.

2. Напряжение UH на гранях образца при эффекте Холла

, (9.2)

где UH - постоянная Холла; В - индукция магнитного поля; i - плотность тока; l - ширина пластины.

3. Постоянная Холла для полупроводников типа алмаза, кремния, германия и др., обладающих носителями заряда одного вида (n или р)

, (9.3)

где n - концентрация носителей заряда.

4. Удельная проводимость собственных полупроводников

, (9.4)

где - ширина запрещенной зоны; - константа; к - постоянная, Больцмана.

5. Зависимость концентрации носителей тока (электронов и дырок); от температуры в зоне проводимости

, (9.5)

где n0 - концентрация электронов в заполненной зоне; - энергия активации, необходимая электрону для перехода из валентной зоны в зону проводимости.

Примеры решения задач

Задача 1. Образец из германия n-типа в виде пластины длиной L = 10 см и шириной d=6 см помещен в однородное магнитное поле, (В = 0,1 Тл) перпендикулярно линиям магнитной индукции. При напряжении 250 В, приложенном к концам пластины, возникает холловская разность потенциалов UH=8,8 мВ. Определить: 1) постоянную Холла ; 2) концентрацию nn - носителей тока. Удельную проводимость германия принять равной 80 См/м.

Решение. При помещении полупроводника в магнитное поле (рис. 9.1) носители тока (в полупроводнике n-типа это электроны), перемещающиеся под действием приложенной к нему разности потенциалов будут отклоняться в поперечном направлении. Это отклонение, вызванное силой Лоренца, приведет к "накоплению" заряда на боковых поверхностях образца, причем создаваемое в результате этого напряжение UH (холловская разность потенциалов) действием своим будет уравновешивать силу Лоренца. Холловская разность потенциалов определяется соотношением , откуда постоянная Холла

. (1)

Плотность тока i найдем, воспользовавшись законом Ома в дифференциальной форме , где Е - напряженность поля в образце. Считая поле в образце однородным, можно написать и тогда

, (2)

Подставив (2) в формулу (1), получим

. (3)

Убедимся в том, что правая часть равенства (3) дает единицу постоянной Холла, м3/Кл:

Произведем вачислекия:

.

2. Концентрацию n носителей тока в полупроводнике одного типа (в нашем случае n-типа) можно найти из соотношения

,

где е - элементарный заряд. Отсюда

; Кл.

Произведем вычисления

электр./м3.

Ответ: 1) RH=7,33∙10-5м3/Кл; 2) электр./м3

Задачи для самостоятельного решения

131. Удельная проводимость кремния с примесями =112 См/м. Определить подвижность bp дырок и их концентрацию np, если постоянная Холла . Принять, что полупроводник обладает только дырочной проводимостью.

(Ответ: bp =3.6∙10-2 м2/В с; np= 2∙1022 м3).

132. Пластина из кремния шириной l=1 см и длиной L=10 см помещена в однородное магнитное поле с индукцией В=0,2 Тл. Вектор перпендикулярен вектору плоскости пластины. К концам пластины (вдоль L) приложено напряжение U=300 В. Определить холловскую разность потенциалов на гранях пластаны, если постоянная Холла м3/КК удельное сопротивление кремния р = 0,5 Ом×м. (Ответ: ).

133. Подвижность электронов в германии n-типа bp=3,7∙103 cм2/(В. с). Определить постоянную Холла , если удельное сопротивление полупроводника р =1,6∙10-2 Ом∙м. (Ответ: =7∙10-3 м3/Кл).

134. Концентрация носителей тока в кремнии равна n =5∙1010 см-3, подвижность электронов bn = 0,15 м2/(В. с.) и дырок bp = 0,05 м2/(В. с.). Определить сопротивление кремниевого стержня длиной L = 5 см и сечением S= 2 мм3. (Ответ: R= 1,56∙107 Ом).

135. Тонкая пластина из кремния шириной l=2 см помещена перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля (В=0,5 Тл). При плотности тока, направленного вдоль пластины l=2 мкА/мм2, холловская разность потенциалов оказалась =2,7 В. Определить концентрацию n носителей тока. (Ответ: n= 5,26∙1016 м-3).

136. Некоторый примесный полупроводник имеет решетку типа алмаза и обладает только дырочной проводимостью. Определить концентрацию np. дырок и их подвижность bp если постоянная Холла =3,8×104 м3/Кл. Удельная проводимость полупроводника =110 См/м.

(Ответ: np=1,9∙1022 м-3; bp=3,6 10-2 м2/(В. с.)).

137. В германии часть атомов замещена атомами сурьмы. Рассматривая дополнительный электрон примесного атома по модели Бора, оценить его энергию связи и радиус орбиты. Диэлектрическая проницаемость германия =16. (Ответ: Е=0,053 эВ; r=0,85 нм).

138. Собственный полупроводник (германиевый) имеет при некоторое температуре удельное сопротивление р = 0,5 Ом∙м. Определить концентрацию n носителей тока, если подвижность электронов bn = 0,38 м2/(В. С.).

(Ответ: n=2,23∙10-19 м3).

139. Подвижность электронов и дырок в кремнии соответственно равна bn=1,5 103 см2/(В. с.) к bp= 5∙102 см2/(В. с.). Вычислить постоянную Холла для кремния, если удельное сопротивление кремни р=6,2∙102 Ом∙м.

(Ответ: =146 м3/Кл).

140. Удельное сопротивление кремния с примесями р = 10-2 Ом∙м. Определить концентрацию np дырок и их подвижность bp. Принять, что полупроводник обладает только дырочной проводимостью и постоянная Холла =4∙10-4 м3/Кл.

(Ответ: np=1,85∙1022 м-3; bp=3,4 10-2 м2/(В. с.)).

5. КОНТАКТНАЯ РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ. Р-N-ПЕРЕХОД. ДИОДЫ

Основные формулы и соотношения

1. Концентрация свободных электронов в полупроводнике n - типа

. (10.1)

р - типа

, (10.2)

в чистом полупроводнике

. (10.3)

Концентрация дырок в полупроводнике

n – типа

. (10.4)

р - типа

. (10.5)

в чистом полупроводнике

. (10.6)

В формулах (10.1) - (10.6) и далее принять следующие обозначения:

nn - концентрация свободных электронов в полупроводнике n- типа; nd - концентрация ионов донорной примеси; np - концентрация свободных электронов в полупроводнике р-типа, na - концентрация ионов акцепторной примеси; n1- концентрация свободных электронов в чистом полупроводнике; рn - концентрация дырок в полупроводнике n–типа; рp - концентрация дырок в полупроводнике р-типа, р1 - концентрация дырок в чистом полупроводнике; mn - эффективная масса свободного электрона; mp-эффективная масса дырки; Т – абсолютная температура; h=6,67∙1034 Дж с - постоянная Планка; - ширина запрещенной зоны; К=1,38∙1023 Дж/К - постоянная Больцмана.

2. Контактная разность потенциалов в полупроводниковом диоде

, (10.7)

где е=1,6∙10-19 Кл - элементарный электрический заряд.

3. Сила тока I через плоскостной полупроводниковый диод в прямом (U>0) и обратном (U<0) направлениях при напряжении U, приложенном к р-п-переход.

, (10.8)

где ток насыщения

, (10.9)

где А - постоянный для данного диода коэффициент.

Дифференциальное сопротивление р-п-перехода диода

. (10.10)

Электрическая емкость закрытого плоскостного диода

, (10.11)

где =8,85∙10-12 Ф/м - электрическая постоянная; - диэлектрическая проницаемость полупроводника; S - площадь р-п-перехода, Uз -запирающее напряжение, приложенное к диоду (см. табл. 10.1).

Таблица 10.1 Некоторые постоянные полупроводниковых материалов

Примечание m0 =9,11∙10-31 кг - масса электрона.

Примеры решения задач

Задача. 1. Какова должна быть концентрация ионов донорной примеси арсенида галлия при температуре 27° С чтобы концентрация основных носителей в 104 раз превышала концентрацию не основных носителей?

Решение. Полупроводник с донорной примесью есть полупроводник типа. Основными носителями являются свободные электроны с концентрацией nn, а не основными - дырки с концентрацией рn. На основании формулы (10.1) , а на основании формулы (10.4)

.

Тогда

,

откуда

.

Подставим данные

.

.

Проверка размерности

.

Ответ: м-3.

Задача 2. На сколько изменится контактная разность потенциалов кремниевого диода при нагревании его от 0°С до 300° С? Концентрация примесей р - и n - областей nd = na = 1∙1015 м-3.

Решение. На основании формулы (10.7) контактная разность потенциалов

.

Концентрация свободных, электронов в n - области по формуле (10.1) , где - концентрация доноров.

Концентрация свободных электронов в. р - области по формуле (10.9)

Тогда

Подставим табличные данные, физические константы и условия задачи в формулу

Проверка размерности

.

Ответ: В.

Задача 3. Определить ток насыщения полупроводникового плоскостного диода, если при температуре 300 К и напряжении 0.2 В прямой ток диода составляет 10 0м.

Решение. Используем формулу (10.8)

,

где К -постоянная Больцмана, е0 - элементарный заряд, откуда

.

Подставим данные условия и константы

.

Ответ: .

Задача 4. Во сколько раз возрастет дифференциальное сопротивление плоскостного полупроводникового диода, если его прямое включение изменено на обратное. Приложенное напряжение составляет 0,1 В. температура 290 К.

Решение. На основании формулы

,

где К - постоянная Больцмана; е0 - - элементарный заряд, определяем

.

При прямом включении U > 0. При обратном включении U < 0.

.

Подставим значения

.

Ответ: .

Задача 5. Определить контактную разность потенциалов р-п перехода, если после подачи запирающего напряжения 10 В электрическая емкость диода уменьшилась в 3 раза.

Решение. На основании формулы емкости закрытого плоскостного диода

.

Тогда отношение емкости при Uз=0 к емкости при Uз 0

, откуда и

.

Подставим данные .

Проверим размерности

Ответ: .

Задачи для самостоятельного решения

141. Какую часть от всех носителей составляют неосновные носители германия n-типа при температуре 77°С и концентрации ионов примеси 5∙1020 м-3?

(Ответ: ).

142. Во сколько раз число свободных электронов в кремнии р-типа меньше числа дырок при температуре 400 К и концентрации ионов акцепторной примеси 1,2∙1021 м-3?

(Ответ: ).

143. Найти число неосновных носителей тока в кристалле арсенида галлия объемом 1 мм3 при температуре 0°С при концентрации ионов акцепторной примеси 2∙1014 м-3.

(Ответ: N =2,04)

144. Во сколько раз увеличится концентрация неосновных носителей при увеличения температуры кристалла легированного арсенида галлия от 0°С до 150 °С?

(Ответ: ).

145. В германий ввели донорную примесь с концентрацией 1∙1020 м-3. Во сколько раз уменьшилось при этом число дырок? Температура кристалла 20°С.

(Ответ: ).

146. В кремний ввели акцепторную примесь с концентрацией 5×1015 м-3. Во сколько раз уменьшится число свободных электронов, если температура кристалла 27°С?

(Ответ: ).

147. Найти отношение концентраций дырок в р - и n-областях арсенидгаллиевого диода при температуре 350 К. Концентрации ионов донорной и акцепторной примесей одинаковы и составляют 1∙1018 м-3.

(Ответ: ).

148. Решить задачу 147 для германиевого диода при температуре 273К.

(Ответ: ).

149. Решить задачу 147 для кремниевого диода.

(Ответ: ).

150. Найти отношение концентраций свободных электронов в р - и n - областях германиевого диода при температуре 300 К. Концентрации ионов донорной и акцепторной примесей одинаковы и равны 2∙1020 .

(Ответ: ).

6. ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ (КЛАССИЧЕСКОЙ И КВАНТОВОЙ). ЭЛЕКТРОНЫ В МЕТАЛЛЕ. МАГНИТНЫЙ РЕЗОНАНС. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ. ЭФФЕКТ ДЖОЗЕФСОНА.

Основные формулы и соотношения

1. Распределение частиц в силовом поле (распределение Больцмана)

, (11.1)

где U - потенциальная энергия частиц; n - концентрация частиц; n0- концентрация частиц при U=0; К - постоянная Больцмана; Т - температура; е - основание натуральных логарифмов.

2. Распределение молекул по скоростям (распределение Максвелла) определяется двумя выражениями:

а) число молекул, скорости которых заключены в пределах от V до V+dV,

, (11.2)

где f(V) - функция распределения молекул по модулям скоростей; N - общее число молекул: m - масса молекулы;

б) число молекул, относительные скорости которых заключены в пределах от U до U + dU,

, (11.3)

где - относительная скорость, равная отношению скорости V к наиболее вероятной VВ; f(U)- функция распределения по относительным скоростям.

3. Распределение молекул по импульсам

, (11.4)

где f(p)-функция распределения по импульсам.

4. Распределение молекул по энергиям. Число молекул, энергии которых заключены в интервале от до

, (11.5)

где f() - функция распределения по энергиям.

5. Среднее значение физической величины Z в общем случае

, (11.6)

где f(х) - функция распределения, а интегрирование ведется по всей совокупности изменения величины Z. Если f(х) нормирована на единицу, то .

Например, средняя арифметическая скорость молекул газа

,

средняя квадратичная скорость

, где

средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы

.

6. Распределение Ферми по энергиям для свободных электронов в металле при Т = 0

, (11.7)

при и T=0

, (11.8)

где - концентрация электронов, энергия которых заключена в интервале от до ; m и - масса и энергия электрона; - уровень (или энергия) Ферми.

7. Уровень Ферми в металле при Т= 0

. (11.9)

8. Если в объеме V металла имеется N электронов, то . Величина вектора. Kf (волновой вектор Ферми) связана с n соотношением

. (11.10)

Сферу с радиусом Кf, содержащую одноэлектронные уровни, называют сферой Ферми. Поверхность сферы Ферми, отделяющую заполненные уровни от незаполненных, называют поверхностью Ферми.

9. Энергия Ферми обычно выражается через волновой вектору Ферми таким образом

. (11.11)

10. Скорость электрона на поверхности Ферми определяется выражением.

. (11.12)

11. Температура Ферми Тf в теории свободных электронов находится таким образом:

, (11.13)

где К - постоянная Больцмана; - энергия Ферми.

12. Температура Ткр выражается формулой

, (11.14)

где К - постоянная Больцмана: n - число электронов в единице объема; m - масса электрона.

13. Удельная электропроводность металлов определяется по классической теории Зоммерфельда

, (11.15)

где р - удельное сопротивление; n - число электронов в единице объема; е - заряд электрона; m - масса электрона; - время релаксации.

14. Магнитный момент ядра

, (11.16)

где g - ядерный фактор Ланде (g-фактор); - ядерный магнетон (); - масса протона; I - спиновое квантовое число ядра (спин ядра).

15. Связь магнитного момента ядра с моментом импульса LI ядра

, (11.17)

где - гиромагнитное отношение () и .

16. Проекция магнитного момента ядра на направление вектора магнитной индукции внешнего поля

, (11.18)

где mI =0,1,2.....I спиновое магнитное квантовое число ядра.

17. Резонансное поглощение СВЧ-энергии в магнитном поле происходит при условии

, (11.19)

где В0 - магнитная индукция внешнего постоянного магнитного поля.

18. Отношение населенностей энергетических уровней (в отсутствии высокочастотного поля)

, (11.20)

где N1 - заселенность энергетического уровня Е1: N2 - заселенность энергетического уровня Е2; Е2 > E1

19. По теории Бардина - Купера - Шриффера (БКШ)

, (11.21)

где Нс(0) - критическое магнитное поле при Т = 0; Нс(Т) - критическое магнитное поле при температуре Т < Тс; Тс - температура сверхпроводящего перехода.

20. По теории БКШ вблизи критической температуры (в нулевом поле) энергетическая щель изменяется в соответствии с универсальным законом

. (11.22)

21. Связь величины энергетической щели и критической температуры имеет вид

. (11.23)

22. Магнитный поток Ф, связанный со сверхпроводящим кольцом (или цилиндром), по которому течет ток, является кратным величине

, где - заряд куперовской пары.

Таким образом,

. (11.24)

Величина Фо носит название квант магнитного потока или флюксон.

23. Туннельный ток через переход Джозефсона (стационарный эффект) определяется соотношением

, (11.25)

где Ф - магнитный поток; - квант магнитного потока; I0 не зависит от магнитного поля, а зависит от температуры и структуры контакта.

24. Если к контакту Джозефсона приложить постоянное электрические напряжение U, то величина сверхпроводящего тока будет осуществляться с частотой (нестационарный эффект Джозефсона)

. (11.26)

Примеры решения задач

Задача 1. Образец металла объемом V=20 см3 находится при температуре Т = 0. Определить число свободных электронов, импульсы которых отличаются от максимального рmах не более, чем на 0,1 рmax. Энергия Ферми =5 эВ.

Решение. Для того, чтобы установить распределение свободных электронов по импульсам, необходимо воспользоваться распределением Ферми по энергиям при Т = 0 (11.8)

.

По физическому смыслу задачи

. (11.27)

Данной энергии соответствует определенный импульс р () и интервалу импульсов dр соответствует определенный интервал энергии , т. е. . Так как, то, подставив в правую часть равенства (11.27) вместо выражение (11.8) с заменой на р и на dр в соответствии с полученными соотношениями, имеем

.

После сокращений получим искомое распределение свободных электронов в металле по импульсу при Т = 0

. (11.28)

Число электронов в единице объема, импульсы которых заключены в интервале от 0,9рmах до рmах, найдем, проинтегрировав выражение (11.28)

.

или

. (11.29)

Так так максимальный импульс рmах и максимальная энергия электронов в металле (при Т = 0) связаны соотношением , некоторое искомое число свободных электронов в металле будет

. (11.30)

Подставив в (11.30) числовые значения величин, получим

=2,9∙1023 электронов.

Ответ: =2,9∙1023 электронов.

Задача 2. Образец из вещества, содержащего ядра (протоны), находится в однородном внешнем магнитном поле (В=1 Тл). Определить:

1) относительную разность заселенностей энергетических уровней при температуре Т = 300 К;

2) частоту , при которой будет происходить ядерный магнитный резонанс. Экранирующим действием электронных оболочек и соседних ядер пренебречь.

Решение. В магнитном поле ядра приобретают дополнительную энергию, даваемую равенством

, (11.31)

где - проекция магнитного момента ядра на направление вектора В (ось Z). Проекция магнитного момента ядра выражается формулой (11.18)

.

Подставив (11.18) в (11.31), получим

. (11.32)

Спиновое магнитное квантовое число протона может принимать только два значения: .

Значение соответствует нижнему энергетическому уровню

. (11.33)

Значение соответствует верхнему энергетическому уровню (рис. 11.1.)

. (11.34)

В отсутствии магнитного поля число ядер с противоположно направленными спинами одинаково и равно N/2 (N - общее число ядер). В магнитном поле происходит перераспределение ядер по энергетическим уровням. Число ядер N1 и N2 вычисляется, исходя из статистики Больцмана.

.

Так как (это будет показано ниже), то можно воспользоваться приближенными равенствами если х<1.

Тогда

, (11.35)

. (11.36)

Разность населенности энергетических уровней найдем, вычитая из (11.35) равенство (11.36)

. (11.37)

Разделив на N, получим относительную разность заселенностей энергетических уровней

. (11.38)

Выразим все величины в единицах СИ: (для протона); А∙м2; В =1 Тл; К = 1,38∙10 -23 Дж/К; Т = 300 К.

Подставив эти значения в формулу (11.38) получим

.

Полученный результат оправдывает наше допущение, что . Под действием электромагнитного излучения, угловая частота которого

. (11.39)

будут происходить переходы между уровнями Е1 и Е2, причем излучение вызывает переходы и , с равной вероятностью при условии одинаковой заселенности энергетических уровней. Так как нижний уровень имеет большую заселенность, чем верхний, то переходы с поглощением; электромагнитного излучения () будут происходить чаще, чем с излучением (). Это и есть резонансное поглощение электромагнитного излучения, обусловленное ядерным магнетизмом (ЯМР).

Подставив в (11.39) выражение для анергий Е1 и Е2 согласно (11.33) и (11.34), и, учтя, что , найдем резонансную частоту для внешнего магнитного поля В:

, (11.40)

вставив числовые величины в (11.40). Получим МГц.

Ответ: МГц.

Задачи для самостоятельного решения

161. Определить концентрацию n свободных электронов в при температуре Т = 0 К. Энергию Ферми принять равной эВ.

(Ответ: n = 5,6∙1025).

162. Определить отношение концентраций свободных электронов при Т = 0 К в литии и цезии, если известно, что уровни Ферми в этих металлах соответственно равны эВ; эВ.

(Ответ: ).

163. Определить число свободных электронов, которое приходится на один атом натрия при температуре Т =0 К. Уровень Ферми для натрия равен 3,12 эВ. Плотность р натрия равна 970 лГ/м3.

(Ответ: n = 0,9).

164. Определить вероятность того что электрон в металле займет энергетическое состояние, находящееся в интервале эВ ниже уровня Ферми и выше уровня Ферми для двух температур:

1)Т!=290 К; 2) Т2=56 К.

(Ответ: 1) W1=0,893 и W2 =0,119; 2) W1=0,999955 и W2 =4,5∙10-5).

165. Вычислить среднюю кинетическую энергию электронов в металле при температуре Т= 0 К, если уровень Ферми =7 эВ.

(Ответ: эВ).

166. Электроны в металле находятся при температуре Т=0 К. Найти относительное число свободных электронов, кинетическая энергии которых отличается от энергии Ферми не более, чем на 2%.

(0твет: =0,03).

167. По функции распределения электронов в металле по импульсам установить распределение по скоростям:

1) при любой температуре Т; 2) при Т=0 К.

(Ответ:

1) при T0;

2) при Т=0).

168. Определить максимальную скорость Vmах электронов в металле при Т=0 К, если уровень Ферми =5 эВ.

(Ответ: =1,32∙106 м/с).

169. Используя таблицу Менделеева (приложение 4) вычислить время релаксации для меди, алюминия и железа при Т = 273 К.

(Ответ: с; с; с).

170. Используя таблицу Менделеева (приложение 4), вычислить волновой вектор Ферми КF, скорость Ферми VF и температуру Ферми ТF для Au, Сu, Fе, Аl, Sn, Ве.

(Ответ; КFAu=1,21∙1010 м-1; КFSn=1,64∙1010 м-1; TFAu =6,42∙104 К; TFSn=11,8∙104 К; VFAu = 1,4∙105 м/с; VFSn = 1,90∙106 м/с).

Приложение 1 Основные физические константы

Приложение 2 Периоды полураспада радиоизотопов

Приложение 3

Таблица 1 Край К – полосы поглощения рентгеновского излучения

Таблица 2 Массовые коэффициенты ослабления (рентгеновское и γ – излучение, узкий пучок)

Добавить комментарий