Разное
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 4.00 (1 Голос)

Задачи по треугольникам с решениями.

Задачи по теме - соотношение между элементами и площадь треугольников.

Пример решения синтетическим методом

Задача: Биссектриса угла прямоугольника делит большую сторону на два отрезка длиной 7 и 9 см. Найти периметр прямоугольника.

Дано: ABCD – прямоугольник; AK – биссектриса; ; BK = 7 см, KC = 9 см (либо BK = 9 см, KC = 7 см).

Решение задачи:

Углы 1 и 2 равны между собой как внутренние разносторонние. С другой стороны, угол 3 равен углу 2, так как AK - биссектриса. Отсюда следует, что угол 1 и угол 3 равны.

Но так как эти углы равны, то ∆ABK - равнобедренный. Следовательно, AB = BK.

img44-001.jpg

Дальнейшее решение зависит от того, какой из отрезков равен 7 см, а какой – 9 см.

Если BK = 7 см, KC = 9 см, то AB = BK = 7 см, и периметр равен P = 2∙(7 + 7 + 9) = 46см.

Если BK = 9 см, KC = 7 см, то AB = BK = 9 см, и периметр равен P = 2∙(9 + 9 + 7) = 50 см.

**********************************

Обратите внимание: при решении этой задачи собирались воедино сведения из разных областей геометрии. Результат одного рассуждения использовался для построения следующего.

Примеры решения аналитическим методом

Пример 1. Найти градусные меры смежных углов, если разность их градусных мер равна 50°

  1. Решение. Обозначим градусные меры смежных углов x и Тогда по теореме о сумме смежных углов , а по условию . Получили систему уравнений

Отсюда находим x = 115°, y = 65°.

Пример 2. Доказать, что середины сторон любого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Решение задачи:

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны. Следовательно, если мы докажем параллельность сторон четырехугольника, образованного серединами сторон, то задача будет решена.

img44-002.jpg

  1. Пусть AC и BD – диагонали четырехугольника. В треугольнике ABC: KL – средняя линия, следовательно, KL||В треугольнике ADC: PQ – средняя линия, следовательно, PQ||AC.
  2. Тогда по признаку параллельных прямых имеем: KL||AC, PQ||AC, отсюда KL|| PQ. Аналогично доказывается параллельность KP и Следовательно, четырехугольник KLPQ – параллелограмм, ч.т.д. (quod erat demonstrandum).

 

Примеры решения задач по треугольникам алгебраическими методами

Сведение решения задачи к решению уравнения

Периметр прямоугольного треугольника равен 36 см. Гипотенуза AB относится к катету AC как 5:3. Найти стороны треугольника.

Решение задачи.

Дано : ∆ACB; C = 90°; P = 36 см, AB:AC = 5:3. Найти AB, AC, BC.

  1. Обозначим коэффициент пропорциональности через Тогда , . Так как , то . Отсюда

Тогда k = 36/12 = 3 см, и стороны треугольника равны:

AB = 3∙5 = 15 см; = 3∙3 = 9 см; BC = 3∙4 = 12 см.

Комбинирование геометрического и аналитического методов

Через точку М внутри треугольника ABC проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. Площади образованных при этом треугольников равны . Найти площадь треугольника.

  1. Решение. Построим рисунок. Из рисунка видно, что образованные треугольники подобны исходному треугольнику Следовательно,

Тогда

отсюда

 

Задачи по треугольникам для закрепления знаний

  1. н

**********************************************************

22.

Указание. Использовать формулу (2)

**********************************************************

6.

**********************************************************

**********************************************************

**********************************************************

**********************************************************

19.

**********************************************************

18.

**********************************************************

23.

**********************************************************

24.

**********************************************************

28.

**********************************************************

29.

**********************************************************

4.

**********************************************************

**********************************************************

**********************************************************

9.

**********************************************************

Задачи с треугольниками - 4.0 out of 5 based on 1 vote

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

Google